2024-2025学年新教材高中数学第一章三角函数1.4.3诱导公式与对称1.4.4诱导公式与旋转课时作业含解析北师大版必修第二册_第1页
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PAGE课时分层作业(五)诱导公式与对称诱导公式与旋转(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=eq\f(1,3),则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))的值等于()A.-eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.-eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(2\r(2),3)A[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-α))=-sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=-eq\f(1,3).]2.若sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ在()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限B[∵sin(θ+π)=-sinθ<0,∴sinθ>0.∵cos(θ-π)=cos(π-θ)=-cosθ>0,∴cosθ<0,∴θ为其次象限角.]3.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,6)))=eq\f(1,3),则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))的值为()A.-eq\f(2\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(1,3) D.-eq\f(1,3)D[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,3)))=coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,6)))))=-sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,6)))=-eq\f(1,3).]4.若sin(π+α)+coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))=-m,则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)-α))+2sin(2π-α)的值为()A.-eq\f(2m,3) B.eq\f(2m,3)C.-eq\f(3m,2) D.eq\f(3m,2)C[∵sin(π+α)+coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))=-sinα-sinα=-m,∴sinα=eq\f(m,2).故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)-α))+2sin(2π-α)=-sinα-2sinα=-3sinα=-eq\f(3,2)m.]5.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)+α))=eq\f(\r(3),2),则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)-α))的值为()A.eq\f(1,2) B.-eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.-eq\f(\r(3),2)D[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)-α))=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)-α))))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+α))=-sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)+α))=-eq\f(\r(3),2).]二、填空题6.cos660°=________.eq\f(1,2)[cos660°=cos(360°+300°)=cos300°=cos(180°+120°)=-cos120°=-cos(180°-60°)=cos60°=eq\f(1,2).]7.cos1°+cos2°+cos3°+…+cos179°+cos180°=________.-1[cos179°=cos(180°-1°)=-cos1°,cos178°=cos(180°-2°)=-cos2°,……cos91°=cos(180°-89°)=-cos89°,∴原式=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+…+(cos89°+cos91°)+(cos90°+cos180°)=cos90°+cos180°=0+(-1)=-1.]8.已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中a、b、α、β为常数.若f(2)=1,则f(2024)=________.1[∵f(2)=asin(2π+α)+bcos(2π+β)+2=asinα+bcosβ+2=1,∴asinα+bcosβ=-1.f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)+2=asinα+bcosβ+2=-1+2=1.]三、解答题9.已知角α终边经过点P(-4,3),求eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))sin-π-α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)-α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)+α)))的值.[解]∵角α终边经过点P(-4,3),∴sinα=eq\f(3,5),cosα=-eq\f(4,5),∴eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+α))sin-π-α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)-α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)+α)))=eq\f(-sinαsinα,-sinαcosα)=-eq\f(3,4).10.求证:eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ-\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ+\f(π,2)))-1,1-2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ+\f(3,2)π)))=eq\f(sinθ+cosθ,sinθ-cosθ).[证明]∵左边=eq\f(-2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π-θ))-sinθ-1,1-2sin2θ)=eq\f(-2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-θ))))-sinθ-1,1-2sin2θ)=eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-θ))-sinθ-1,1-2sin2θ)=eq\f(-2sinθcosθ-1,sin2θ+cos2θ-2sin2θ)=eq\f(sinθ+cosθ2,sin2θ-cos2θ)=eq\f(sinθ+cosθ,sinθ-cosθ)=右边.∴原式成立.11.若cos(π+α)=-eq\f(1,2),eq\f(3,2)π<α<2π,则sin(2π+α)等于()A.eq\f(1,2) B.±eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),2) D.-eq\f(\r(3),2)D[由cos(π+α)=-eq\f(1,2),得cosα=eq\f(1,2),∵eq\f(3,2)π<α<2π,∴α=eq\f(5π,3).故sin(2π+α)=sinα=sineq\f(5π,3)=-sineq\f(π,3)=-eq\f(\r(3),2)(α为第四象限角).]12.(多选)在△ABC中,给出下列四个式子:①sin(A+B)+sinC;②cos(A+B)+cosC;③sin(2A+2B)+sin2C;④cos(2A+2B其中为常数的是()A.① B.②C.③ D.④BC[①sin(A+B)+sinC=2sinC;②cos(A+B)+cosC=-cosC+cosC=0;③sin(2A+2B)+sin2C=sin[2(π-C=-sin2C+sin2④cos(2A+2B)+cos2C=cos[2(π-C=cos2C+cos2C=2cos213.已知cos(75°+α)=eq\f(1,3),则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.-eq\f(1,3) D.-eq\f(2,3)D[sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-2cos(75°+α)=-eq\f(2,3).]14.已知f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπx,x<0,,fx-1-1,x>0,))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11,6)))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))=________.-2[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11,6)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11π,6)))=sineq\f(π,6)=eq\f(1,2),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))-1=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,6)))-2=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6)))-2=-eq\f(5,2),∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11,6)))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))=eq\f(1,2)-eq\f(5,2)=-2.]15.化简:eq\f(sinkπ-αcos[k-1π-α],sin[k+1π+α]coskπ+α)(k∈Z).[解]当k=2n(n∈Z)时,原式=eq\f(sin2nπ-αcos[2

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