2024-2025学年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质同步作业含解析新人教A版必修51

PAGE等差数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= ()A.-1 B.0 C.1 【解析】选B.由等差数列的性质得a6=2a4-a2=2×2-4=0.2.等差数列{an}中a2=5,a6=33,则a3+a5= ()A.35 B.38 C.45 【解析】选B.由等差数列的性质知a3+a5=a2+a6=38.3.在等差数列{an}中,a2000=log27,a2022=log2QUOTE,则a2011= ()A.0 B.7 C.1 【解析】选A.因为数列{an}是等差数列,所以由等差数列的性质可知2a2011=a2000+a2022=log27+log2QUOTE=log21=0,故a2011=0.4.等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= ()A.3 B.-6 C.4 【解析】选B.由等差数列的性质,得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d=QUOTE=-6.5.已知等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0 ()A.无实根 B.有两个相等实根C.有两个不等实根 D.不能确定有无实根【解析】选A.因为a4+a6=a2+a8=2a5,a2+a5+a8=3a5=9,所以a5=3,则方程为x2+6x+10=0,因为Δ=62-4×10=-4<0,所以方程无实根.6.设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= ()A.15 B.25 C.35 【解析】选C.方法一:设{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.方法二:因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以{an+bn}也构成等差数列,所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),所以2×21=7+a5+b5,所以a5+b5=35.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=________.

【解析】因为数列{an}为等差数列,所以a7+a9=a4+a12,a12=16-1=15.答案:158.(2024·大庆高一检测)在等差数列QUOTE中,若a2+a8=10.则QUOTE-2a5=__________.

【解析】因为数列QUOTE为等差数列,a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以QUOTE-2a5=102-10=90.答案:90三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{an}中,a3+a12=60,a6+a7+a8=75,求an.【解析】由a6+a7+a8=3a7=75得a7=25,因为QUOTE得QUOTE故an=a1+(n-1)d=-35+10(n-1)=10n-45.10.在等差数列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.【解析】方法一:由等差数列的性质得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).所以a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.方法二:因为数列{an}是等差数列,所以a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差数列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差数列,所以30+(a11+a12+…+a15)=2×80,a11+a12+…+a15=130.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{an}满意3+an=QUOTE且a2+a4+a6=9,则log6(a5+a7+a9)的值是 ()A.-2 B.-QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】选C.因为QUOTE-an=3,所以{an}为等差数列,且d=3.a2+a4+a6=9=3a4,所以a4=3,a5+a7+a9=3a7=3(a4+3d)=3(3+3×3)=36,所以log6(a5+a7+a9)=log636=2.2.(2024·全国卷Ⅱ改编)已知等差数列{an}满意a4+a5=24,a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,则{an}的公差为 ()A.1 B.2 C.4 【解析】选C.因为a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,所以3(a3+a4)=48,即a3+a4=16①,又因为a4+a5=24②,②-①得a5-a3=8,故d=QUOTE=4.3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第 ()A.1升 B.QUOTE升 C.QUOTE升 D.QUOTE升【解析】选B.设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以a5=a1+4d=QUOTE,即第5节的容积为QUOTE升.4.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为 ()A.QUOTE B.±QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.由等差数列性质知a1+a13=2a7,即3a7=4π,所以a7=QUOTE,所以a2+a12=2a7=QUOTE,即tan(a2+a12)=-QUOTE.【补偿训练】在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为A.14B.18C.21D.27【解析】选A.因为a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以an=n+1,所以a1a65.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种计量单位).这个问题中,甲所得为 ()A.QUOTE钱 B.QUOTE钱 C.QUOTE钱 D.QUOTE钱【解析】选B.依据题意,设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则由题意可知a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d.又因为a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,解得a=1.则a-2d=a-2×QUOTE=QUOTEa=QUOTE,故选B.二、填空题(每小题5分,共20分)6.已知数列{an}是等差数列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=________.

【解析】因为a4+a7+a10=3a7=17,所以a7=QUOTE.因为a4+…+a14=11a9=77,所以a9=7,d=QUOTE,所以ak-a9=(k-9)d.即13-7=(k-9)×QUOTE,解得k=18.答案:187.已知在等差数列{an}中,a3,a15是方程x2-6x-1=0的两根,则a7+a8+a9+a10+a11=________.

【解析】由题意知a3+a15=6,即2a9=6,所以a9=3,依据等差数列的性质知a7+a11=a8+a10=2a9,所以a7+a8+a9+a10+a11=5a9=15.答案:15【延长探究】本题条件不变,则a1+a2+…+a17=________.

【解析】a1+a2+…+a17=17a9=17×3=51.答案:518.在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=________.

【解析】在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=log2QUOTE=a1+a2+…+a10=20.答案:209.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根组成首项为QUOTE的等差数列,则|m-n|=________.

【解析】因为y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴,设四个根分别为x1,x2,x3,x4,不妨设x1,x4为x2-2x+m=0的两根,x2,x3为x2-2x+n=0的两根,则不妨令x1=QUOTE,所以x4=QUOTE,x2=QUOTE,x3=QUOTE,所以m=QUOTE,n=QUOTE,所以|m-n|=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)10.某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量削减3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)【解析】设在相同的时间内,从低到高每档产品的产量分别为a1,a2,…,a10,利润分别为b1,b2,…,b10,则{an},{bn}均为等差数列,且a1=60,d1=-3,b1=8,d2=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,所以利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.所以当n=9时,f(n)max=f(9)=864.所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润.11.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.【解析】设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.【补偿训练】已知单调递增等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式.【解析】方法一:考虑从a1和d动身来确定an.由题意可得QUOTE则QUOTE解得a1=3,d=4或a1=11,d=-4.留意到数列为单调递增数列,因此舍去a1=11,d=-4.从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1.方法二:由于数列为等差数列,因此可设等差数列前三项为a-d,a,a+d,于是可得QUOTE即QUOTE即a=7,d2=16,由于数列为单调递增数列,因此d=4,从而an=4n-1.12.已知等差数列{an}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14.(1)求数列{an}的通项公式.(2)令bn=QUOTE(n∈N*),是否存在