2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二学案含解析新人教A版必修4

PAGE3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)内容标准学科素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟识两角和与差的正切公式的常见变形，并能敏捷应用.发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第76页[基础相识]学问点两角和与差的正切公式阅读教材P129，思索并完成以下问题怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？(1)由sin(α＋β)和cos(α＋β)，如何求tan(α＋β)?如何用tanα、tanβ表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝eq\f(sin（α＋β）,cos（α＋β）)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).eq\o(→,\s\up7(分子、分母同除以cosαcosβ))＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ).(2)由sin(α－β)和cos(α－β)如何求tan(α－β)？如何用tanα、tanβ表示tan(α－β)?提示：tan(α－β)＝eq\f(sin（α－β）,cos（α－β）)＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαcosβ)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).学问梳理名称简记符号公式运用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β均不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)思索T(α＋β)与T(α－β)之间有什么关系？提示：将T(α＋β)中的β换为－β可得T(α－β)．[自我检测]1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，则tan(α－β)等于()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．3D．－3答案：A2．若taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝2，则tanα的值为()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)答案：A授课提示：对应学生用书第77页探究一正切公式的正用与逆用[教材P129～130例3、例4]方法步骤：正用：将某一角写成和、差型，干脆绽开．逆用：构造公式绽开特征，形成某一角的正切．[例1]求下列各式的值：(1)tan105°；(2)eq\f(sin15°－cos15°,sin15°＋cos15°).[解析](1)tan105°＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60°·tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝－2－eq\r(3).(2)eq\f(sin15°－cos15°,sin15°＋cos15°)＝eq\f(tan15°－1,tan15°＋1)＝eq\f(tan15°－tan45°,1＋tan15°·tan45°)＝tan(15°－45°)＝tan(－30°)＝－eq\f(\r(3),3).方法技巧1.干脆运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是精确记忆公式，特殊是Tα±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．2．对于不能干脆套用公式的状况，需依据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．跟踪探究1.若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，则tanβ＝()A.eq\f(1,7)B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,7)D.eq\f(5,6)解析：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝eq\f(tan（α＋β）－tanα,1＋tan（α＋β）tanα)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).答案：A2.eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________．解析：∵tan60°＝eq\r(3)，∴原式＝eq\f(1－tan60°tan75°,tan60°＋tan75°)＝eq\f(1,\f(tan60°＋tan75°,1－tan60°tan75°))＝eq\f(1,tan（60°＋75°）)＝－1.答案：－1探究二正切公式的变形应用[教材P146A组4(2)题]求tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°·tan40°的值．解析：∵tan60°＝eq\f(tan20°＋tan40°,1－tan20°tan40°)＝eq\r(3)，∴tan20°＋tan40°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°＝eq\r(3).[例2](1)求值：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝________．(2)(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)．[解析](1)法一：tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).法二：∵tan(23°＋37°)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r(3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°).∴eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°.∴tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°＝eq\r(3).(2)∵(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24°＝1＋(1－tan21°tan24°)tan45°＋tan21°tan24°＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2.同理可得(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，∴原式＝2×2＝4.方法技巧两角和的正切公式的常用变形形式(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）).跟踪探究3.若锐角α，β满意(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝4，求α＋β.解析：∵(1＋eq\r(3)tanα)(1＋eq\r(3)tanβ)＝1＋eq\r(3)(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，∴tanα＋tanβ＝eq\r(3)(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\r(3).又∵α，β均为锐角，∴0°<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.4．求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．解析：(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2，∴(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝222.授课提示：对应学生用书第77页[课后小结]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号改变规律可简记为“分子同，分母反”．2．应用公式T(α±β)时要留意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要留意常值代换如taneq\f(π,4)＝1，taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，taneq\f(π,3)＝eq\r(3)等．特殊要留意taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－tanα,1＋tanα).(3)公式的变形应用只要用到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有敏捷应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．特殊提示：tanα＋tanβ，tanαtanβ，简单与根与系数的关系联系，应留意此类题型．[素养培优]1．忽视角的范围导致增解(1)首先依据角的三角函数值和给定的角的范围，求角的另一三角函数值，然后再求值．(2)当涉及和、差角时，肯定要精确求出和、差的范围．[典例]已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)易错分析①忽视α锐角条件，求cosα时出现两值．②忽视α＋β的范围致错．自我订正[解析]sinα＝eq\f(\r(5),5)，且α为锐角，则cosα＝eq\f(2\r(5),5)，tanα＝eq\f(1,2)，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×（－3）)＝－1.又因为α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＋β＝eq\f(3π,4).[答案]B2．运用T(α±β)时或变形公式时，其特征致错(1)记准公式的结构和符号规律．(2)将“tanα±tanβ”、“tan(α＋β)”和“tanα·tanβ”看成一个整体，知其中两个可求第三个．[典例]化简：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝________