2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语章末综合提升学案新人教B版必修第一册

PAGE第1章集合与常用逻辑用语[老师用书独具]类型1集合的交集、并集、补集运算集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．有些题目比较简洁，干脆依据集合运算的定义可得，有些题目与解不等式或方程相结合，须要先正确求解不等式或方程，再进行集合运算，还有的集合问题比较抽象，解题时需借助维恩图进行数形分析或利用数轴等，采纳数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、精确地获解．【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．(1)用列举法表示集合A与B；(2)求A∩B及∁U(A∪B)．[解](1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．eq\o([跟进训练])1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{4} B．{2,4}C．{4,5} D．{1,3,4}A[题图中阴影部分所表示的是集合A中的元素除去与集合B相同的元素构成的集合，故题图中阴影部分所表示的集合是{4}，故选A．]类型2集合关系与运算中的求参数问题已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满意的关系．解决这类问题经常须要合理利用数轴、维恩图帮助分析．同时还要留意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类探讨，探讨时要不重不漏．【例2】已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B⊆A，则实数aa＜－2或eq\f(1,2)≤a＜1[因为a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠∅.画数轴如图所示，由B⊆A知，a＋1＜－1，或2a≥即a＜－2，或a≥eq\f(1,2).由已知a＜1，所以a＜－2，或eq\f(1,2)≤a＜1，即所求a的取值范围是a＜－2或eq\f(1,2)≤a＜1．]eq\o([跟进训练])2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B⊆A，求实数k的取值范围.[解]由题意知B≠∅，由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k－1≥－3，,2k＋1＜2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,k＜\f(1,2).))所以k的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤k＜\f(1,2))))).类型3充分条件与必要条件充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着特别广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以中学数学的其它学问为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的推断．【例3】已知集合A＝{x∈R|2x＋m＜0}，B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}．(1)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的充分条件？(2)是否存在实数m，使得x∈A是x∈B成立的必要条件？[解](1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件，则只要eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－eq\f(m,2)≤－1，即m≥2，故存在实数m≥2时，使x∈A是x∈B成立的充分条件．(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件，则只要{x|x＜－1或x＞3}⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))，则这是不行能的，故不存在实数m，使x∈A是x∈B成立的必要条件．eq\o([跟进训练])3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．－eq\f(1,2)或eq\f(1,3)[p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－eq\f(1,a).由题意知pq，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).综上可知，a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).]类型4全称量词命题与存在量词命题“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区分与联系(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定其结论的同时，变更量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．【例4】(1)下列语句不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”A．p是假命题；¬p：∃x∈R，x2＜0 B．p是假命题；¬p：∃x∈R，x2≤0C．p是真命题；¬p：∀x∈R，x2＜0D．p是真命题；¬p：∀x∈R，x2≤0(1)C(2)B[(1)A中命题可改写为：随意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：随意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：随意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C．(2)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，依据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤eq\o([跟进训练])4．下列命题不是存在量词命题的是()A．有些实数没有平方根B．能被5整除的数也能被2整除C．在实数范围内，有些一元二次方程无解D．有一个m使2－m与|m|－3异号B[选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．存在一个能被7整除的数不是奇数[原命题即为“全部能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]1．(2024·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}A[由题意，得A∪B＝{－1,0,1,2}，所以∁U(A∪B)＝{－2,3}，故选A．]2．(2024·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝()A．∅ B．{－3，－2,2,3}C．{－2,0,2} D．{－2,2}D[法一：因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}，故选D．法二：A∩B＝{x|1<|x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<－1或1<x<3，x∈Z}＝{－2,2}．]3．(2024·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4B[易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2.故选B．]4．(2024·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝()A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}C[A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝{x|1≤x<4}，故选C．]5．(2024·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的