2025届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题8等差数列与等比数列学案文含解析

PAGE专题8等差数列与等比数列1.等差数列必记结论(1)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;QUOTE=QUOTE.(2)若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an;S奇-S偶=an;QUOTE=QUOTE.2.等比数列必记结论(1)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm(k,m∈N*).(2)若数列{an}的项数为2n,则QUOTE=q;(3)若项数为2n+1,则QUOTE=q.1.数列中的方程思想无论是等差数列中的a1,n,d,an,Sn,还是等比数列中的a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解2.数列中的函数思想数列是一种特别的函数,在探讨数列问题时,既要留意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特别性.1.弄错首项致错如T10中,数列{bn}的首项为b1,不是QUOTE.2.忽视数列与函数的区新颖错如T13肯定要留意自变量n是正整数.3.忽视题目中的隐含条件而致错如T11要留意b2的符号已经确定,且b2<0,忽视了这一隐含条件,就简单出现错误.考向一等差数列基本量的计算【典例】(2024·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列QUOTE的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2①,则QUOTE=________.

①依据基本量列方程②前n项和公式求解考向二等比数列基本量的计算【典例】(2024·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=()A.12 B.24 C.30 D.321.在公比为QUOTE的等比数列QUOTE中,若sinQUOTE=QUOTE,则cosQUOTE的值是 ()A.-QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE2.数列{an}中,a1=2,a2=1,则QUOTE+QUOTE=QUOTE(n∈N*),则a10等于()A.-5 B.-QUOTE C.5 D.QUOTE3.若数列{xn}满意lgxn+1=1+lgxn(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为 ()A.102B.101C.100D.994.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是依据日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长改变如图所示,相邻两个节气晷长削减或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ()A.相邻两个节气晷长削减或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.数列QUOTE满意:an+1=λan-1QUOTE,若数列QUOTE是等比数列,则λ的值是()A.1 B.2 C.QUOTE D.-16.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)= ()A.26 B.29 C.2127.已知数阵QUOTE中,每行的三个数依次成等比数列,每列的三个数也依次成等比数列,若a22=2,则该数阵中九个数的积为 ()A.36 B.256 C.5128.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1·a6·a11=-3QUOTE,b1+b6+b11=7π,则tanQUOTE的值是 ()A.1 B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE9.已知每项均大于零的数列QUOTE中,首项a1=1且前n项和Sn满意SnQUOTE-Sn-1QUOTE=2QUOTE(n∈N*且n≥2),则a81= ()A.641 B.640 C.639 D.63810.若数列QUOTE满意:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=2nQUOTE,则数列QUOTE的前n项和Sn为 ()A.2n+1B.2n-4C.2n+2-2 D.2n+2-411.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则QUOTE=______

12.已知数列QUOTE满意a1=2,QUOTE-QUOTE=2,若bn=QUOTE,则数列QUOTE的前n项和Sn=________.

13.已知数列QUOTE满意a1=1,an=loQUOTEcn(n≥2),当n≥2时,bn=n,且点QUOTE是直线y=x+1上的点,则数列QUOTE的通项公式为________;令y=

a1·a2·a3·…·ak,则当k在区间[1,2024]内时,使y的值为正整数的全部k值之和为________.

专题8等差数列与等比数列///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】设等差数列QUOTE的公差为d.因为QUOTE是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,依据等差数列通项公式:an=a1+QUOTEd,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d+QUOTE+5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.依据等差数列前n项和公式:Sn=na1+QUOTEd,n∈N*,可得:S10=10×QUOTE+QUOTE=-20+45=25,所以S10=25.答案:25考向二D设等比数列QUOTE的公比为q,则a1+a2+a3=a1QUOTE=1,a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1qQUOTE=q=2,因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5QUOTE=q5=32.///高考演兵场·检验考试力///1.B由等比数列的通项公式可知:a2a5=(a1a4)q2=2(a1cosQUOTE=1-2sin2(a1a4)=1-2×QUOTE=QUOTE.2.D因为QUOTE+QUOTE=QUOTE(n∈N*),所以QUOTE是等差数列,又因为a1=2,a2=1,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以QUOTE是首项为QUOTE,公差为QUOTE的等差数列,所以QUOTE=QUOTE,an=QUOTE,所以a10=QUOTE.3.A由lgxn+1=1+lgxn,得QUOTE=10,所以数列QUOTE是公比为10的等比数列,又x101=x1·q100,x102=x2·q100,…,x200=x100·q100,所以x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100·100=10102,所以lgQUOTE=102.4.D由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an},其中a1=15寸,a13=135寸,公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10(寸),同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn},其中b1=135,b13=15,公差d=-10(单位都为寸).故选项A正确;因为春分的晷长为b7,所以b7=b1+6d=135-60=75,因为秋分的晷长为a7,所以a7=a1+6d=15+60=75,所以B正确;因为立冬的晷长为a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷长为一丈五寸,C正确;因为立春的晷长,立秋的晷长分别为b4,a4,所以a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d=135-30=105,所以b4>a4,故D错误.故选D.5.B数列QUOTE为等比数列⇒QUOTE=QUOTE=q,即:λan-2=qan-q,由上式恒成立,可知:QUOTE⇒λ=2.6.Cf′(x)=[x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=x′[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=a1a2·…·a8又a1a8=a2a7=a3a6=a4a5,所以f′(0)=(a1a8)4=847.C依题意可得a11a13=QUOTE,a21a23=QUOTE,a31a33=QUOTE,a12a32=QUOTE,因为a22=2,所以a11a12a13a21a22a23a31a32a33=(a11a13)a12(a21a23)a22(a31a33)a32=QUOTE=QUOTE=29=512.8.D在等差数列{bn}中,由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π,b6=QUOTE,所以b3+b9=2b6=QUOTE,在等比数列{an}中,由a1a6a11=-3QUOTE,得QUOTE=-3QUOTE,a6=-QUOTE,所以1-a4a8=1-QUOTE=1-(-QUOTE)2=-2,则tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=-QUOTE.9.B因为SnQUOTE-Sn-1QUOTE=2QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=2,即{QUOTE}为等差数列,首项为1,公差为2,所以QUOTE=1+2(n-1)=2n-1所以Sn=(2n-1)2,因此a81=S81-S80=1612-1592=640.10.D对随意的n∈N*,QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=2n.当n=1时,QUOTE=2,可得b1=4;当n≥2时,由QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE=2n,可得QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=2QUOTE,两式相减得QUOTE=2,所以bn=2n+1.又b1=4符合bn=2n+1,所以bn=2n+1QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=2,所以,数列QUOTE为等比数列,且公比为2,首项b1=4,因此,Sn=QUOTE=2n+2-4.11.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d=QUOTE[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以QUOTE=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE12.【解析】由题意知QUOTE为公差是2的等差数列,所以QUOTE=QUOTE+(n-1)×2=2n,所以an=2n2,所以bn=22n,所以Sn=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE13.【解析】因为当n≥2时,bn=n,且点QUOTE是直线y=x+1上的点,所以当n≥2时,有an=logn(n+1)(n≥2),所以