天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含解析）

2024~2025学年度第一学期期中重点校联考高二数学一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）.A. B. C. D.2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（）.A. B. C. D.3.方程表示椭圆的充要条件是（）.A. B.或C. D.4.若直线与平行，则的值为（）.A.0 B.2 C.3 D.2或35.已知两点，，过点的直线与线段（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（）.A. B.C. D.6.已知圆，若直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（）.A. B. C. D.37.如图所示直四棱柱中，底面为菱形，，，，动点在体对角线上，则顶点到平面距离的最大值为（）.A. B. C. D.8.已知直线与直线交于点，若点，则的最小值为（）A. B.2 C. D.9.已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.已知，，.则_____.11.直线过点（－1，2），且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_____.12.若直线与圆相交于A，B两点，且（为坐标原点），则_____.13.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_____.14.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为_____.15.已知是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为_____.三、解答题（本题共75分）16.（14分）直线过点且与直线垂直.（1）求直线的方程；（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.17.（15分）如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，M，N分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.18.已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.19.（15分）如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.20.（16分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.（1）求的方程；（2）直线交于，两点.（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；（ii）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.

2024－2025年度上学期高一年级期中考试数学参考答案1.C因为，，所以.2.C因为是幂函数，所以，得，则，.3.A由，得或，故“”是“”的充分不必要条件.4.B设，则由，得，即，则得则，.5.D设每束鲜花的售价降低元，则花店该品种鲜花的日销售额，故当，即每束鲜花的售价为34元时，花店该品种鲜花的日销售额最大.6.C由题可知的定义域为，且，所以是奇函数，排除A，B.当时，，排除D.故选C.7.B因为的定义域为，所以在中，，则，则在中，，则.又，所以的定义域为.8.A由，得，则，当且仅当时，等号成立.9.ABC空集是任何集合的子集，A正确.“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”，B正确.若，则，当且仅当时，等号成立，故“”是“”的一个充分条件，C正确.取，则，，D不正确.10.ACD因为关于的不等式的解集为（1，2），所以整理得则.由，解得.由，解得，则.故选ACD.11.AC由，得，则，整理得.令函数，则由，得，从而在上单调递增，则，即，即，A正确，B不正确.因为，所以，则，即，C正确.与的大小关系不确定，D不正确.12.－2若则或当时，，此时；当时，，不符合集合元素的互异性.若则不符合集合元素的互异性.13.（－5，4）因为，所以，则.14.当时，，.当时，.故对于任意，都有.设，则，则，从而.15.解：（1）若，即，则，符合题意.若，即，则由中恰有一个元素，得，解得或.综上所述，的值构成的集合为.（2）由，得或，则.若，符合，则解得或.若，则，解得，则，符合.若，则，解得，则，不符合.综上所述，的取值范围为.16.（1）证明：.因为，所以，则，从而.（2）解：因为，所以.因为，所以，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.17.解：（1）因为与分别是定义在上的奇函数、偶函数，所以，.由①，得，则②.①－②得，则从而.（2）因为与均是增函数，所以也是增函数.又，所以在上的值域为.若，则在上单调递增.因为与在上的值域相同，所以解得若，则为常数函数，显然不符合题意.若，则在上单调递减.因为与在上的值域相同，所以解得综上所述，或18.解：（1）因为，所以是偶函数.当时，，则由，得在上单调递增.因为是偶函数，所以由，得，解得，故不等式的解集为.（2）若，则，则在（－1，0）和上单调递增，在上单调递减，由在上的最小值大于－3，得解得；若，则，，则在上单调递增，由在上的最小值大于－3，得，则.综上所述，的取值范围为.19.（1）证明：因为在