第4章相似三角形（单元测试拔尖卷）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第4章相似三角形（单元测试·拔尖卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2021·四川巴中·统考中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（

）

A． B． C． D．3．（2021·山东德州·中考真题）将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，，点到直线，的距离分别为，，则的值为（

）A．1 B． C． D．4．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市南渝中学校校考期中）如图，点D是△ABC中AB边上靠近A点的四等分点，即4AD＝AB，连接CD，F是AC上一点，连接BF与CD交于点E，点E恰好是CD的中点，若S△ABC＝8，则四边形ADEF的面积是（

）A．4 B． C．2 D．5．（2023秋·山东聊城·九年级校考开学考试）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是（

）

A． B． C．或 D．或6．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（

）

A． B． C． D．7．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（）

A． B． C． D．8．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，平分，，、的延长线交于点，连接，连接交于点．下列结论错误的是（

）

A．图中共有三个等腰直角三角形 B．C． D．9．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，点，点B是线段上任意一点，在射线上取一点C，使，在射线上取一点D，使．所在直线的关系式为，点F、G分别为线段的中点，则的最小值是（

）

A． B． C． D．4．810．（2023·浙江温州·校考三模）如图所示，正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形，连接，．已知正方形与正方形面积之比为，若，则（

）

A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022秋·山西晋中·九年级统考期中）已知，且，则．12．（2023秋·山西临汾·九年级统考期末）在中，M，N分别是BC，AC边上一点，连接AM，BN交于点P，若，，则．13．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）正方形中，E，F分别是，上的点，连结交对角线于点G，若恰好平分，，则的值为．14．（2023秋·全国·九年级专题练习）宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，垂足为E，F是的中点，连接交于点P，那么．16．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为．

17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图：等腰直角三角形中，E为边上一点，．将沿着翻折得到线段，连接，若，则．

18．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，于点D，M是的中点，交于点P，．若，求的长．

20．（8分）（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．21．（10分）（2022秋·九年级课时练习）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m，塔影长m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB．22．（10分）（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图1，在，，，D为上一点，连接，分别过点A、B作于点N，于点M．（1）求证：；（2）若点D满足，求的长；（3）如图2，若点E为中点，连接，求证：．

图1

图223．（10分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长．24．（12分）（2022秋·湖南衡阳·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且.

（1）求点A、点的坐标；（2）求点的坐标；（3）若直线过点A交线段于点，且，求点坐标；（4）在平面内是否存在一点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，∴，∴（20−x）2＝20x，故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．2．A【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得．解：过点F作交AC于点G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．设，则，∴∴．∴．∴．∴．故选：A【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键．3．B【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解．解：设交于点，∵，，∴，∵，∴，三角形为等腰直角三角形，在Rt△ABC中，设长为，则，∵，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比．4．D【分析】过D点作DG∥EF，连接AE，，GF＝FC，再计算△ADE和△AEF的面积即可．解：过D点作DG∥EF，连接AE，∵点E恰好是CD的中点，4AD＝AB，∴，GF＝FC，设AG＝k，则AF＝4k，GF＝3k，FC＝3k，∴，∵，S△ABC＝8，∴，∴，∵，∴，∴＝．故选：D．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握等高三角形面积之比等于底之比是解题的关键．5．C【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可．解：如图所示，当和在原点同侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；如图所示，当和在原点两侧时，∵与的相似比为2，，∴，即；综上所述，或，故选C．

【点拨】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，．两种情况是解题的关键．6．A【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案．解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，点是的中点，，，，∴，，∴，∴，故选：．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出．7．D【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解．解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵轴轴，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是，故选D．【点拨】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．8．A【分析】根据矩形的性质以及角平分线的性质得，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，由证明，可得，，则，是等腰直角三角形，由，可得，由三角形外角的性质可得，证明，列比例式并结合等量代换可得．解：如图：

四边形是矩形，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故A错误；，，，，故B正确；，，故D正确；，，，，，故C正确．故选：A．【点拨】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．9．A【分析】如图所示，连接，设射线交射线于H，过点H作于M，连接，先根据三线合一定理得到，，进而证明四边形是矩形，得到，，故当点B与点M重合时，最小，即最小，最小值为，设，则，求出，证明，利用相似三角形的性质求出或（舍去），则的最小值为．解：如图所示，连接，设射线交射线于H，过点H作于M，连接，∵，，点F、G分别为线段的中点，∴，，∵，∴，即，∴四边形是矩形，∴，，∴当最小时，最小，∴当点B与点M重合时，最小，即最小，最小值为，∵点H在直线上，∴可设，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴或（舍去），经检验，是原方程的解，∴的最小值为，故选A．

【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质与判定，三线合一定理，相似三角形的性质与判定等等，证明四边形是矩形是解题的关键．10．A【分析】设，，则，根据正方形与正方形面积之比为，得到，求出，作交于点M，作交于点P，证明出，设，则然后利用相似三角形的性质得到，然后解方程求解即可．解：由题意可得，∴设，，则，∵，∴，∵正方形与正方形面积之比为，∴，即，∴整理得，∴，解得或（舍去），∴，∴，如图所示，作交于点M，作交于点P，

由题意可得，，∵，∴四边形，是矩形，∴，，∴，∴设，则，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴整理得，∴，∴解得或（舍去），∴．故选：A．【点拨】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．11．30【分析】设，，，根据得到，求得，从而得出，，，代入进行计算即可．解：，设，，，，，解得：，，，，，故答案为：30．【点拨】本题考查了比的性质，设，，，根据求出的值是解题的关键．12．【分析】过点M作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解．解：过点M作，交于点Q，∵，∴，设，∴，∵，∴，则，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线，根据题意，找出线段之间的比例关系．13．或4【分析】延长交于R，作于T，不妨设，，，可证得是等腰三角形，可推出，进而表示出，然后解，从而求出x的值，进而可得结果．解：如图，延长交于R，作于T，，不妨设，，则，设，四边形是正方形，，，，，，，恰好平分，，，，，在中，，，由勾股定理得，解得，，或，当时，，，当时，，，综上所述，或4，故答案为：或4．【点拨】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造出等腰三角形．14．【分析】先根据黄金矩形求出AB，再利用正方形的性质求出AF，然后进行计算即可解答．解：∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=ADAF=，故答案为：．【点拨】本题考查了黄金分割，相似多边形的性质，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握黄金分割是解题的关键．15．【分析】根据矩形性质得到，利用三角形的三线合一得，过O作交于点Q，则有，，计算即可．解：∵是矩形，∴，∵F是的中点，∴，又∵，∴，过O作交于点Q，∴，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似是解题的关键．16．【分析】证明，，由相似三角形的性质得出，，设，可得，，从而可得出答案．解：∵四边形为正方形，，∴，，∴，，∴，，设，∴，，∴，∴，∴．故答案为．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明与是解题的关键．17．2【分析】如图，作，使，连接，，交于，过作于，可得，，，证明，可得，求解，，可得，，由对折可得：，，，，证明，可得，再证明，可得，，则有，，求解，可得，证明，从而可得答案．解：∵等腰直角三角形，，∴，，如图，作，使，连接，，交于，过作于，

∵等腰直角三角形，∴，，，∴，，，∴，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，由对折可得：，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，，由勾股定理可得：，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案为：2【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．18．10【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，

易知四边形、、为矩形，，∵四边形为矩形，∴，∴，，∴，∴，设两点运动时间为，则，，则有，即，∵，∴，，∵四边形为矩形，∴，作点关于直线的对称点，如图，则，，由轴对称的性质可得，当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，，∴的最小值为．故答案为：10．【点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．19．【分析】证明，结合，可得，，从而可得答案．解：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵点M是线段的中点，，∴，∴，∴，∵，∴．【点拨】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，熟记平行线分线段成比例并灵活运用是解本题的关键．20．（1）见分析（2）【分析】（1）由三线合一可知AC⊥BD，然后利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．解：（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1=．【点拨】此题主要考查了余角的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．21．塔高AB为24m.【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD，斜坡上的DE．然后根据影长的比分别求得AG，GB长，把它们相加即可．解：如图，过点D作，交AE于点F，过点F作，垂足为点G.由题意得，，∴，∵，，∴，∴，答：塔高AB为24m.【点拨】本题考查了相似三角形的应用；解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度．22．（1）见详解；（2）；（3）见详解【分析】（1）根据证明即可；（2）证明，推出，设，则，利用勾股定理构建方程解决问题即可；（3）延长，相交于点H，利用全等三角形的性质证明，可得结论．解：（1）证明：∵，，∴，，又∵，∴，∴∵，∴；（2）解：∵，，∴，∴，设，则，由（1）知，，∵，∴，∴（负根已经舍去），∴，，∴，∴；（3）解：延长，相交于点H，

∵E为的中点，∴∵，，∴，∴，，∴，∴，又∵，∴，又∴，∴，∴．【点拨】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．23．（