141用空间向量研究直线平面的位置关系精练（3大题型）

用空间向量研究直线、平面的位置关系【题型1求平面的的法向量】1、（2022秋·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考阶段练习）若向量，，则平面的一个法向量可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设平面的法向量为，因为向量，，所以，取，得，故选：C.2、（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：，设平面的法向量为，则，令，则，即.对A：若，由，可得：与不共线，故不是平面的法向量，A错误；对B：若，由，可得：与不共线，故不是平面的法向量，B错误；对C：若，则，即与共线，故是平面的法向量，C正确；对D：若，由，可得：与不共线，故不是平面的法向量，D错误；故选：C.3、（2022秋·安徽阜阳·高二校考阶段练习）已知平面经过三点，求平面的一个法向量是;【答案】（答案不唯一）【解析】因为，所以，，设平面α的法向量为，则有，即得，令，则，所以平面的一个法向量为.故答案为：（答案不唯一）．4、（2022·高二课时练习）四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．

【答案】作图见解析，是平面的一个法向量，是平面的一个法向量．【解析】因为，平面，平面，所以又，，所以所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以是平面的一个法向量．因为，设平面的一个法向量，则

，取，得，所以是平面的一个法向量．5、（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.

【答案】（答案不唯一）【解析】因为正方体的棱长为3，，所以，，，则，，设是平面的法向量，则，，所以，取，则，，故，于是是平面的一个法向量（答案不唯一）．【题型2利用空间向量证明平行关系】1、（2023·全国·高二专题练习）已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.【答案】证明见解析【解析】以点D为原点，分别以､与的方向为x､y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系.则､､､､､､､，M是棱的中点得，.设面的一个法向量为，，，则令，则.又，因为平面，所以平面.2、（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.【答案】证明见解析【解析】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，若，则，，因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面平面的其中一个法向量为，所以，即，又因为平面，所以平面.3、如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，、分别为、的中点，证明：平面平面.【答案】证明见解析【解析】连接、，，，是等边三角形，为的中点，，又，为的中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，，，，，，，，设是平面的法向量，是平面的法向量，由，得，令，则，，，由，得，令，可得，，，，因此，平面平面.4、（2023春·高二课时练习）在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.【答案】证明见解析【解析】证明:如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则有，，，，，，于是，，，，显然有，，所以，，由，平面，平面，平面，同理平面，平面，，所以平面平面【题型3利用空间向量证明垂直关系】1、（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：；【答案】证明见解析【解析】因为三棱柱是直三棱柱，所以面，又面，故，因为，所以，则两两垂直，故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，则，故，所以，所以，故.2、（2023·江苏·高二专题练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1）证明：AP⊥BC；（2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点，以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.则，可得，∵∴，即AP⊥BC.（2）由（1）可得，∵M是AP上一点，且AM＝3，∴，可得，设平面BMC的法向量为，则，令b＝1，则，即，显然，故∥，∴AM⊥平面BMC.3、（2022·高二课时练习）已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面．【答案】证明见解析.【解析】由题意知，，因为E是的中点，所以，则，所以，，所以，，即，，又平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.4、（2023·江苏·高二专题练习）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【答案】证明见解析【解析】由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，故＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，，设平面AA1C1C的法向量为＝(x，y，z)，则，即令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．设平面AEC1的法向量为＝(a，b，c)，则，即,令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．因为＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.5、（2022·高二课时练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.【答案】证明