专题94平面向量的基本定理及坐标运算（7类必考点）（2019）（原卷版）

专题9.4平面向量的基本定理及坐标运算TOC\o"13"\t"正文,1"\h【考点1：平面向量的基本定理】 1【考点2：向量线性运算的坐标表示】 2【考点3：向量模的坐标表示】 3【考点4：向量数量积运算的坐标表示】 5【考点5：向量平行的坐标表示】 6【考点6：向量垂直的坐标表示】 7【考点7：向量夹角的坐标表示】 8【考点1：平面向量的基本定理】【知识点：平面向量的基本定理】如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）在△ABC中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且AE=2ED，则EB=（

A．23AB−C．76AB−2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）在△ABC中，D为AB边的中点，记CA=m,CD=A．m−2n B．m+2n C．3．（2023·陕西西安·统考一模）在平行四边形ABCD中，AE=13AD，CF=A．65AF−C．65AF+4．（2022春·福建福州·高一校考期末）已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（A．2e1−e2和2C．e1−2e2和e15．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）在平行四边形OACB中，E是AC的中点，F是BC边上的点，且BC=3BF，若OC=mOE+nOF，其中m，6．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且DF>FB,若AF=xAE+y【考点2：向量线性运算的坐标表示】【知识点：向量线性运算的坐标表示】(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则：＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)，λ＝(λx1，λy1)，||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)．[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．（2023·河北·高三学业考试）已知点A1,2，B−1,−2，则向量AB的坐标为（A．2,4 B．0,0 C．−1,−1 D．−2,−42．（2022秋·福建莆田·高二校考期末）已知a=(2,1),a+b=A．−1,−2 B．−1,2 C．−2,1 D．−2,−13．（2023·河北·高三学业考试）已知向量a=−1,2，b=0,1，则A．（－1，1） B．（－2，3） C．（－1，4） D．（－1，0）4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量a=（1，1），b=（﹣1，1），c=（4，2），若c→=λa→+μb→，λ、A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考期末）已知点A1,0，B0,2，C−1,−2，则以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点DA．0,−4 B．2,4 C．−2,0 D．2,16．（2023·高一课时练习）在△ABC中，顶点A的坐标为3,1，边BC的中点D的坐标为−3,1，则△ABC的重心坐标为______．7．（2023·高一课时练习）已知点A−2,4，B3,−1，C−3,−4，设AB=a，BC=b(1)求3a(2)求满足a=mb+n【考点3：向量模的坐标表示】【知识点：向量模的坐标表示】模||＝||＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))[方法技巧]求向量模的常用方法(1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式||＝eq\r(x2＋y2).(2)若向量，是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式||2＝2＝·，或|±|2＝(±)2＝2±2·＋2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．1．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知向量a=(m,2),b=(1,1)．若|a+A．2 B．2 C．12 D．2．（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若O为坐标原点，OA=(n,m),OB=(4n,p),F4,0A．1 B．2 C．3 D．63．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC，AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点，则PC+45．（2022·高一课时练习）已知O为坐标原点，OA=−1,8，OB=−4,1，6．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）设向量a=(1)求a+2(2)若c=λa+μb，【考点4：向量数量积运算的坐标表示】【知识点：向量数量积运算的坐标表示】向量数量积的坐标表示：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2；a在b上的投影向量为b|b|1．（2023春·四川·高三校联考阶段练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知向量，，若向量满足，，则（

）A．13 B．12 C． D．3．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）平面向量满足，且，则的值为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）已知向量，若在方向上的投影向量模长为1，则实数的值为（

）A． B． C． D．5．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知向量，，则_________．6．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，则在上的投影向量为________．7．（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）如图，在边长为1的正方形中，P是对角线上一点，且，则__________，若点M为线段（含端点）上的动点，则的最小值为__________．【考点5：向量平行的坐标表示】【知识点：向量平行的坐标表示】设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0，则∥⇔x1y2－x2y1＝0.[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．（四川省成都市20202021学年高一下学期期中数学文科试题）已知向量a=2,3，b=4,n，a∥A．3 B．3 C．6 D．62．（2023·河南·校联考模拟预测）已知m>0，平面向量a=m2+2,m，b=3．（2023·江西上饶·统考一模）已知向量AB=3,m−3，BC=2,4，若4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知向量a=1,3,b=5．（2022秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考开学考试）已知a=(1,0),(1)当k为何值时，ka−b(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb【考点6：向量垂直的坐标表示】【知识点：向量垂直的坐标表示】⊥·＝0x1x2＋y1y2＝0[方法技巧]平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[提醒]注意x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知向量a=(−4,m),b=(1,−2)，且(a−2A．−7 B．7 C．12 D．−52．（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）设向量a=1,cosθ，b=sin2θ,−A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知向量a,b的夹角的余弦值为23，(a−3b)⊥(A．4 B．1 C．1 D．44．（2022秋·北京·高二北京市第五中学校考期末）已知向量AB=1,2，AC=3,m，若5．（2022春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知向量a=(−1,3)，b(1)求a⋅(2)求2a−b及a(3)(a−mb6．（2023·高三课时练习）已知平面向量a=3,−1，b=12,32，若存在不同时为零的实数k(1)试求函数关系式k=ft(2)求使ft>0的【考点7：向量夹角的坐标表示】【知识点：向量夹角的坐标表示】夹角cosθ＝cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))[答案](1)D(2)eq\f(2\r(2),3)[方法技巧]求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cosθ＝＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角1．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知向量a=−1,0，b=x,1−x，则x>0是向量a，A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件2．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知平面向量a=1,3，b=−3,4，A．a⋅b=−15C．a+b与a的夹角为钝角 D．a+3．（2023·全国·高三专题练习）已知a=x,1，b=2,2x+3，若a,A．−34,+C．−∞,−34．（2023·四川·校联考一模）已知向量a=−3,1，b=4,2，则5．（2023·全国·模拟预测）已知向