专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型例题题型归类练)

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍类型一：插入新数列构成等差类型二：插入新数列构成等比类型三：插入新数混合二、典型例题类型一：插入新数列构成等差例题1．（2022·湖北十堰·三模）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：,根据题意在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解构造新数列通过对比可知：，，，另这个数构成等差数列，公差记为，所以：（插入个数）求这样符合错位相减法模型作差得：【答案】(1)(2)(1)解：因为，①当时，当时，，②①②得.所以.又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.(2)解：由题可知，得，则，③，④③④得，解得.类型二：插入新数列构成等比例题2．（2022·山东聊城·高二期末）已知数列的前项和满足，，.(1)求的通项公式；(2)在与之间插入一项，使，，成等比数列，且公比为，求数列的前项和.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：第（2）问解题思路点拨：由（1）知：,根据题意在与之间插入一项，，使，，成等比数列，且公比为,可求出表达式.由：，，从而：根据题意：在与之间插入一项，使，，成等比数列：，将代入，得到：，两边同时取自然对数：，从而得：（符合裂项相消的特征）【答案】(1)(2)(1)数列的前项和满足：则有：可得：又，则有：故是首项为1，公差为2的等差数列则有：即的通项公式为：(2)因为，，成等比数列，且公比为，所以因为，所以，即因为，则有：可得：化简可得：所以数列的前项和：类型三：插入新数混合例题3．（2022·江苏常州·模拟预测）己知数列满足，在之间插入个1，构成数列：，则数列的前100项的和为（

）A．178 B．191 C．206 D．216由题意可知求混合数列由题意可知求混合数列与插入的新数1，混合后，新数列的前100项和，其突破口在于：在这100项中，数列提供了多少项？解决了这个问题，剩余的都是插入进来的.通过上表，比如：提供了从到，这样新插入的数的个数为：，这样总共才10+45=55项；按此方式多次试探，比如：从到，这样新插入的数的个数为：，这样总共13+78=91，也就意味着这到之间只要再取9个1，即100项，这样提供了13项.个数：123456789101213试探法寻找提供的项数试探法寻找提供的项数求和【答案】A解：数列满足，在，之间插入个1，构成数列，1，，1，1，，1，1，1，，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以．例题4．（2022·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前项和为，满足．(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．由（1）知由（1）知，，根据题意：在与之间依次插入数列中的项构成新数列，求数列中前50项的和，难点在于数列提供了多少项？通过上表，比如：提供了从到，这样新插入的数的个数为：，这样总共才28+8=36项；按此方式继续试探，比如：从到，这样新插入的数的个数为：，这样总共9+36=45，也就意味着这到之间只要再取5项，即50项，这样提供了9项，提供了41项.插入个数：123456789试探法寻找提供的项数试探法寻找提供的项数求和【答案】(1)，(2)11522(1)由得：∵是首项，公差为2的等差数列∴又当时，得当，由…①…②由①－②整理得：，∵，∴，∴，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；(2)依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．由，（）得：，∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；∴．三、题型归类练1．（2021·重庆市第十一中学校高三阶段练习（理））已知数列的前n项和，且.（1）求证：是等比数列；（2）在和之间插入n个数，使这个数成等差数列，记插入的n个数的和为，求.【答案】(1)证明见解析；(2)解：(1)当时，，，——①，——②由②①得：，，是一个以公比为，首项为的等比数列.(2)由(1)可得且，记在和之间插入的这个数为：，又成等差数列，2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）数列的前n项和为，且.(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的最大项.【答案】(1)证明见解析，（）(2)(1)因为，所以，即，即.设，则.因为，则，所以，所以是首项和公比均为﹣1为等比数列，即数列是首项和公比均为﹣1为等比数列，所以，所以，即数列的通项公式为（）.(2)依题意，因为（），所以，.所以当n为奇数时，，，所以数列的所有奇数项依次构成一个递减数列（即），因此，数列的所有奇数项中的最大项为；当n为偶数时，，，所以数列的所有偶数项依次构成一个递减数列（即），因此，数列的所有偶数项中的最大项为；因为，所以数列的最大项为.3．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））已知数列的前项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，数列中第，，，…，…项构成新的数列，且数列为等比数列，求数列前项和.【答案】(1)(2)(1)∵，∴，∴.∴，∴当时，.即.又，∴，∴，∴.(2)由（1）知数列中第，项为，，即等比数列为首项为3，公比为3的等比数列，∴，而，∴.∴.4．（2022·贵州·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，，.(1)求数列，的通项公式；(2)数列是由数列的项删去数列的项后按从小到大的顺序排列构成的新数列，求数列的前50项和.【答案】(1)，.(2)3066.(1)因为①，所以②，由②①得，即，当时，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，设数列的公差为d，，，所以，所以，.(2)因为，，所以数列的前50项即为数列的前56项删去数列中的前6项，故所求数列的前50项和.所以.5．（2022·全国·高三专题练习）为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，2、，，，，，，，，，，，，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前50项的和.【答案】(1)；(2)(1)，解得（舍去），由得时，，两式相减得，，因为，所以，是等差数列，公差为2，所以；(2)由于，，，因此数列的前50项中含有的前9项，含有中的前41项，所求和为．6．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知等比数列的前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)在数列中的和之间插入i个数，，，…，，使，，，，…，，成等差数列，这样得到一个新数列，设数列的前n项和为，求．【答案】(1)；(2).(1)设等比数列的公比为q,∵，，∴，即，∴，即，∴数列的通项公式为.(2)因为在数列中的和之间插入i个数，则在列的前21项中，就是在到每两项之间各插入一组数，共插入五组，数列的前21项为∴.7．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，求的前项和.【答案】(1)；(2).(1)当时，，解得：；当时，由得：，两式作比可得：，整理可得：，数列是以为首项，为公差的等差数列，；(2)设和插入的个数构成一组数，则前组共有个数，令，又，解得：；当时，，的前项中包含前组数和第组数的前个，.8．（2022·山东枣庄·高二期末）已知数列中，数列的前n项和为满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)在和中插入k个数构成一个新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2的等差数列.求数列的前50项和.【答案】(1)证明见解析；(2)2735.(1)依题意，，当时，，两式相减得：，则有，而，即，所以数列是以2为首项，2为公式的等比数列.(2)由(1)知，，即，插入的所有项构成数列，，数列中前插入数列的项数为：，而前插入数列的项数为45，因此，数列的前50项中包含数列前9项，数列前41项，所以.9．（2022·重庆·三模）已知等差数列的前n项和为，.(1)求；(2)若集合，将中的所有元素按从小到大顺序排列，构成数列.设数列的前n项和为，求.【答案】(1)(2)846(1)等差数列中，，∴，，∴.(2)因为，，A，B中没有共同的元素，所以的前33项中，有5项B中的元素，28项A中的元素，故.10．（2022·重庆·高二期末）已知等差数列满足：成