专题10用样本估计总体（重难点突破）

专题10用样本估计总体一、考情分析二、考点梳理知识点一频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq\f(极差,组数)；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示eq\f(频率,组距)，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.知识点二茎叶图统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.知识点三样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则这组数据的标准差和方差分别是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up2(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up2(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up2(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up2(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up2(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up2(－)))2].【知识扩展】1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.2.平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up2(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\o(x,\s\up2(－))＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.三、题型突破重难点题型突破1各种图表和图形的应用例1．（1）、在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：环数789人数23已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根据加权平均数的定义求解即可.【详解】设成绩为8环的人数是x，由加权平均数的定义，得7×2＋8x＋9×3＝8.1(2＋x＋3)，解得x＝5.故选：B.（2）、为了解某高校学生使用支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（

）A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【答案】D【解析】【分析】由条形图数据对选项逐一判断【详解】对于A，由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，故A正确，对于B，由右图知，样本中喜欢支付的数量多于现金支付的数量，故B正确，对于C，由右图知，样本中多数男生喜欢支付，故C正确，对于D，由右图知，样本中多数女生喜欢支付，故D错误．故选：D【变式训练11】、中国于2022年2月在北京成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会．共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景变为现实，中国各地滑雪场的数量也由2015年的1255家增加到2021年的3100家．下面是2016年至2021年中国滑雪场新增数量和滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号是______．①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加④2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多【答案】①②④【解析】【分析】根据柱状图和扇形图，分别判断选项.【详解】由扇形统计图可知，2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高，故①正确；由柱状图可知，2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升，故②正确；由柱状图可知，2020年比2019年下降了，故③不正确；由图可知，2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多，故④正确.故答案为：①②④【变式训练12】、3月12日是植树节，某地组织青年志愿者进行植树活动，植树的树种及其数量的折线图，如图所示．后期，该地区农业局根据树种采用分层抽样的方法抽取150棵树，请专业人士查看树种的成活情况，则被抽取的梧桐树的棵数为______．【答案】10【解析】【分析】利用分层抽样法即可求出被抽取的梧桐树的棵数．【详解】由分层抽样法，被抽取的梧桐树的棵数为：．故答案为：．重难点题型突破2扇形图、折线图与茎叶图例2．（1）、疫情期间，某校为了了解学生在线学习情况，统计了该校A，B两班2020年2月18日—2月26日每天在线学习人数情况，如下图所示：下列说法不正确的是（

）A．A班每天在线学习人数的中位数为34B．记A班与B班每天在线学习人数的方差分别为，，则C．A班与B班每天在线学习人数之和不超过60的天数为3天D．从20日—23日，A班与B班每天在线学习人数都在逐日减少【答案】D【解析】【分析】根据图象，利用中位数的概念以及方差的概念，逐个选项进行判断即可.【详解】对于A，根据中位数的概念，由图可得，A班每天在线学习人数按小到大顺序排列为：22，26，28，33，34，34，35,38，39，中位数34，故A正确；对于B，由图可得，B班每天在线学习人数比A班每天在线学习人数要更稳定，所以，记A班与B班每天在线学习人数的方差分别为，，则，故B正确；对于C，根据图象，算出A班与B班每天在线学习人数之和，可知只有22、23、24三天人数和不超过60，C正确；对于D，根据图象，22日到23日不合题意，D结论错误；故选：D（2）、2022年第24届冬奥会在北京和张家口成功举办，出色的赛事组织工作赢得了国际社会的一致称赞，经济效益方面，多项收入也创下历届冬奥会新高某机构对本届冬奥会各项主要收入进行了统计，得到的数据如图所示．已知赛事转播的收入比政府补贴和特许商品销售的收入之和多27亿元，则估计2022年冬奥会这几项收入总和约为（

）A．223亿元 B．218亿元 C．143亿元 D．118亿元【答案】B【解析】【分析】设收入总和为，根据题设条件列式即可求解【详解】设收入总和为，则，解之得故选：B．【变式训练21】、（多选题）下图是2020年2月15日至3月2日某市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图，则下列说法正确的是（

）A．2020年2月15日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例的极差为1579B．2020年2月15日至3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势C．2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天D．2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例的平均值约为381【答案】ACD【解析】【分析】由折线统计图数据进行分析可得．【详解】2020年2月15日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例的极差为，A正确；因为2月27，28，29日这三天有反弹，所以2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势错误，B错误；2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天，C正确；2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例的平均值，D正确.故选：ACD.【变式训练22】、2021年，我国各地落实粮食生产责任和耕地保护制度，加大粮食生产扶持力度，支持复垦撂荒地，2021年全国粮食总产量13657亿斤，比上年增长约2.0%，全年粮食产量再创新高，且连续7年保持在1.3万亿斤以上，我国2020—2021年粮食产量种类分布及占比统计图如图所示，则下列说法不正确的是（

）A．我国2020年的粮食总产量为13390亿斤B．我国2021年豆类产量比2020年减产明显，下降了约14.2%C．我国2021年的各类粮食产量中，增长量最大的是玉米D．我国2021年的各类粮食产量中，增长速度最快的是薯类【答案】D【解析】【分析】计算出我国2020年的粮食总产量，即可判断A；计算出我国2021年豆类产量比2020年豆类产量下降比例，即可判断B；分别计算出我国2021年各类粮食产量的增减情况，即可判断C，D.【详解】由题得，我国2020年的粮食总产量为（亿斤），故A正确；我国2021年豆类产量比2020年豆类产量下降了.故B正确；我国2021年各类粮食产量中，只有豆类产量下降，而稻谷增长了（亿斤），小麦增长了（亿斤），玉米增长了（亿斤），薯类增长了（亿斤），其他增长了（亿斤），由此可得增长量最大的是玉米，增长速度最快的也是玉米.故C正确，D错误.故选:D.重难点题型突破3频率分布直方图例3．（1）、耀华中学全体学生参加了主题为“致敬建党百年，传承耀华力量”的知识竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（

）A．直方图中的值为0.004B．在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人C．估计全校学生的平均成绩为84分D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分【答案】C【解析】【分析】根据学生的成绩在50分至100分之间的频率和为1可求得的值，就可以判断A；计算成绩在区间的学生频率，然后计算在该区间的学生数，以此判断B；按照频率分布直方图中平均数算法计算可判断C，按照频率分布直方图中百分位数的计算方法计算可判断D【详解】由直方图可得：，解得，故A错误，在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为人，故B错误估计全校学生的平均成绩为分，故C正确全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故D错误故选：C（2）、某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（

）A．图中的B．成绩不低于80分的职工约80人C．200名职工的平均成绩是80分D．若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A肯定能受到表扬【答案】AB【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质特点进行分析计算可得答案.【详解】对于A，，得，故A正确；对于B，成绩不低于80分的职工人数为，故B正确；对于C，平均成绩为，故C错误；第分位数为，故D错误.故选：AB.【变式训练31】、如图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图.已知该校在校学生3000人，根据统计图可计算该校学生每人捐款的平均数约为________元(结果保留整数).【答案】13【解析】【分析】根据统计图，分别求出高一、高二、高三的捐款数额，进而可得该校学生的所有捐款数额，从而根据平均数的计算公式即可求解.【详解】解：根据统计图，得高一人数为3000×32%＝960，捐款960×15＝14400(元)；高二人数为3000×33%＝990，捐款990×13＝12870(元)；高三人数为3000×35%＝1050，捐款1050×10＝10500(元)；所以该校学生共捐款14400＋12870＋10500＝37770(元)，所以捐款的平均数为377703000＝12.59≈13(元).故答案为：13.【变式训练32】、我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=______________．【答案】0.3##【解析】【分析】由频率之和等于1，即矩形面积之和为1可得.【详解】由题知，解得.故答案为：0.3重难点题型突破4用样本的数字特征估计总体例4．为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某校组织了高一年级学生进行防疫知识测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)试估计本次防疫知识测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(3)该校准备对本次防疫知识测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？（结果保留一位小数）【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由频率之和等于1得出的值；（2）由频率分布直方图数据计算平均数即可；（3）设受嘉奖的学生分数不低于分，由得出.(1)由，解得(2)故本次防疫知识测试成绩的平均分为(3)设受嘉奖的学生分数不低于分，因为对应的频率分别为，所以，解得.故受嘉奖的学生分数不低于分.【变式训练41】、2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮面试，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】(1)中位数为73.33，平均数为73.5(2)【解析】【分析】(1)平均数为每个小矩形面积乘以中点横坐标之积的和，中位数为左右面积相等的点的横坐标；(2)根据分层抽样先确定每组抽取的人数，再计算概率.(1)平均数为，设中位数为x，则，解得(2)根据分层抽样的方法抽取的6名学生，[80,90)有4人，[90,100]有2人，所以90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率.

四、课堂训练（30分钟）1．印制电路板(PCB)是电子产品的关键电子互联件，被誉为“电子产品之母”.印制电路板的分布广泛，涵盖通信设备、计算机及其周边、消费电子、工业控制、医疗、汽车电子、军事、航天科技等领域，不可替代性是印制电路板制造行业得以始终稳固发展的要素之一.下面是PCB主要成本构成统计图(单位：%)，则下列结论错误的是（

）A．覆铜板成本占PCB材料成本的50%B．钢箔成本占材料成本的15%C．磷铜球成本占材料成本的6%D．防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列【答案】C【解析】【分析】首先求出材料成本占总成本的百分比，即可得到其他材料占比，再一一判断即可；【详解】解：由图中数据可得，材料成本占总成本的，所以覆铜板成本占材料成本的，故A正确；钢箔成本占材料成本的，故B正确；磷铜球成本占材料成本的，故C错误；其他材料占比为，所以防焊油墨、磷铜球、球钢箔、其他材料的成本占比成等差数列，故D正确.故选：C.2．日前，十九大代表、奥运冠军——魏秋月老师在升旗仪式上为耀华师生上了一堂生动的体育思政课，并为耀华排球社的同学们带来了魏秋月名师工作室团队的专业技术指导.其间对同学们垫排球的手势技术动作进行了特别指导.之后排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为排球社50位同学的垫球个数所做的频率分布直方图，所有同学垫球数都在540之间.估计垫球数的样本数据的75%分位数是（

）A．25 B．26 C．27 D．28【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图，结合分位数计算公式即可求解【详解】垫球数在的人数为，占总数的；垫球数在的人数为，占总数的；垫球数在的人数为，占总数的；垫球数在的人数为，占总数的；垫球数在的人数为，占总数的；垫球数在的人数为，占总数的；垫球数在的人数为，占总数的，因为75%分位数位于内，由，所以估计垫球数的样本数据的75%分位数是28.故选：D3．从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现用电量均在50度到350度之间，频率分布直方图如下图所示．则在这些用户中，用电量在区间内有（

）户A．26 B．30 C．35 D．41【答案】C【解析】【分析】先利用频率之和为1求出，进而求出电量在区间内的户数.【详解】由题意得：，解得：，则电量在区间内有（户）.故选：C4．为庆祝中国共青团成文100周年，校团委举办了“学团史，知团情”知识竞赛，甲、乙两个组各派7名同学参加竞赛，测试成绩(单位：分，十分制)如图所示，则下列描述正确的有(

)A．甲、乙两组成绩的极差相等 B．甲、乙、两组成绩的平均数相等C．甲、乙两组成绩的中位数相等 D．甲组成绩的方差大于乙组成绩的方差【答案】AC【解析】【分析】根据图中数据分别计算出甲、乙两组成绩的极差、平均数、中位数、方差即可判断．【详解】甲、乙两组成绩的极差都为4，故A正确；甲组成绩的平均数为，乙组成绩的平均数为，∴甲组成绩的平均数小于乙组成绩的平均数，故B错误；甲、乙两组成绩的中位数都为6，故C正确；甲组成绩的方差为：，乙组成绩的方差为，∴甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，故D错误．故选：AC．5．某校举行劳动技能大赛，统计了名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于分的视为优秀，低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（

）A．B．优秀学生人数比不及格学生人数少人C．该次比赛成绩的平均分约为D．这次比赛成绩的分位数为【答案】BCD【解析】【分析】根据频率分布直方图的性质特点,即可求解.【详解】对于A项，由题意，所以，故A错误；对于B项，优秀学生人数为，不及格学生人数，优秀学生人数比不及格学生人数少15人，故B正确；对于C项，平均分，故C正确；对于D项，设百分位数为，则有，所以，故D正确.故选:BCD6．某快递驿站统计了近期每天代收快件的数量，并制成如下图所示的频率分布直方图．则该快递驿站每天代收包裹数量的中位数为______．【答案】260【解析】【分析】先确定中位数在区间内，设其为，解方程即得解.【详解】解：左边第一个矩形的面积为，左边第二个矩形的面积为，左边第三个矩形的面积为，因为，所以中位数在区间内，设其为，所以，所以.故答案为：2607．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示（最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值）.现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3000，4000）（单位：元）内的应抽取________人.【答案】40【解析】【分析】根据频率分布直方图求出[3000，4000）的频率，从而可求出应抽取的人数【详解】月收入在[3000，4000）的频率为1－（0.0001＋0.00025×2＋0.00015＋0.00005）×1000＝0.2，故应抽取200×0.2＝40（人）.故答案为：408．某工厂为了检验一批产品的质量，从这批产品中随机抽取100件，检测某一质量指标（单位：厘米）．根据检查结果．将其分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计这批产品该质量指标的中位数；(2)已知质量指标在内的产品为一等品，若这批产品中有1080件一等品，估计这批产品的总数量．【答案】(1)10.05(2)【解析】【分析】（1）根据中位数对应的频率在0.5处即可得结果；（2）求出这批产品中一等品的频率即可得这批产品的总数量.(1)因为，，所以这批产品该质量指标的中位