91平面的基本性质（原卷版）

9.1平面的基本性质[知识整合]基础知识1．平面的概念“平面”是不定义的最基本的概念之一，只作描述说明，如平静的水面、桌面、黑板面等都是平面的具体形象，但平面既无大小，也没有厚薄，无限延展，没有边界．教学中的平面是指光滑并且可以无限延伸的图形．2．平面的表示由于桌面、黑板面的关系，通常用平行四边形来表示平面．平面一般用希腊字母α、β、γ、…来表示，如平面α、平面β、平面γ；也可以用平行四边形的对角顶点的字母来命名，如平面AC、平面BD.如图所示，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍长．3．几何图形都可以看成点的集合，因此通常借助集合符号来表示几何图形之间的关系.几何图形位置关系集合符号表示位置关系集合符号表示点和直线点A在直线l上A∈l点A不在直线l上A∉l点和平面点A在平面α内A∈α点A不在平面α内A∉α直线和直线直线l与直线m交于N点l∩m＝N直线l与直线m不相交l∩m＝∅直线和平面直线l在平面α内；直线l在平面α外l⊂α；l⊄α直线l与平面α交于点N；直线l与平面α没有交点l∩α＝N；l∩α＝∅平面和平面平面α与平面β交于直线lα∩β＝l平面α与平面β没有交点α∩β＝∅以上是将直线和平面看成集合，而点则看成是集合的元素，因此借用元素与集合、集合与集合间的符号，来表示它们之间的关系．4．平面的基本性质文字描述符号描述图形描述性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α性质2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们就有且只有过这点的一条公共直线.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β)))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α∩β＝l,P∈l)))性质3经过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面.C∉AB⇒存在唯一平面α，使A∈α，B∈α，C∈α性质3的推论(1)经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面.A∉a⇒存在唯一平面α，使A∈α，a⊂α(2)经过两条相交直线，有且只有一个平面.a∩b＝P⇒存在唯一平面α，使a⊂α，b⊂α(3)经过两条平行直线，有且只有一个平面.a∥b⇒存在唯一平面α，使a⊂α，b⊂α基础训练1．点P在直线m上，记作()A．P∈mB．P∉mC．P⊂mD．P⊄m2．直线a在平面β内，记作()A．a∈βB．a⊂βC．a∉βD．a⊄β3．如果直线上点M、N都在平面β内，则该直线上点P________这个平面内(“在”或“不在”)．4．经过空间两个点____________确定一条直线，经过空间三个点____________确定一个平面(“可以”或“不可以”)；经过____________三个点可以确定一个平面．(“确定一个平面”是指“有且仅有一个平面”)5．不重合的两个平面，可能有____________公共点，可能有____________公共点．[重难点突破]考点1平面的概念及表示例1用符号表示下列语句：(1)点A在直线l上，l又在平面α内；(2)点A是直线l和平面α的交点．【解】(1)点A在直线l上表示为：A∈l，直线l在平面α内表示为：l⊂α；(2)点A是直线l与平面α的交点表示：l∩α＝A.【变式训练】1.用符号表示下列语句：(1)点B是直线l与m的交点；(2)直线m在平面α内，且直线m在平面β外．2．已知点M在直线l上，直线l不在平面α内，请画出相应的图形．例2下列说法正确的是()A．三角形是一个平面图形B．一条直线可以确定一个平面C．相交于一点的三条直线可以确定一个平面D．四条线段依次首尾相接，所得的图形一定是平面图形【解析】A【变式训练】下列图形不一定是平面图形的是()A．三角形B．五边形C．圆D．梯形考点2平面的基本性质例3下列说法正确的是()A．经过空间的任意三点，只能确定一个平面B．三条直线相交，最多可以确定两个平面C．一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面D．有三个公共点的两个平面一定重合【解析】选项A中三点共线时说法错误；选项B中三条直线两两相交且不共面时可以确定三个平面；选项D中的三个公共点可能共线．由平面的基本性质可知C正确．【变式训练】下列三个命题中真命题的个数为()①如果平面α与平面β有无数个公共点，那么平面α必与平面β重合；②空间两两相交的三条直线确定一个平面；③空间不同的三点确定一个平面．A．0B．1C．2D．3例4已知l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，求证：l，m，n三线共面．【解】∵l∩m＝A，∴l，m确定平面α，又∵l∩n＝B，m∩n＝C，∴B∈l，C∈m，∴B∈a，C∈a，又∵B∈n，C∈n，∴n⊂α，故l，m，n三线共面．[课堂训练]1．点C不在直线l上记作()A．C∈lB．C∉lC．C⊂lD．C⊄l2．点P在平面α内记作()A．P∈αB．P∉αC．P⊂αD．P⊄α3．下列四个条件中，在空间能确定一个平面的是()A．三个点B．一条直线和一个点C．两条直线D．梯形的两腰所在的直线4．空间一条直线在平面内，则这条直线与平面有____________个公共点．5．两条相交直线__________确定一个平面，两条