第1讲正弦余弦正切余切（讲义）

第1讲正弦、余弦、正切、余切知识梳理1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为.（4）角在“到”范围内，指.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小角度制与弧度制换算关系：弧度，(2)常见特殊角的角度数与弧度数对照表：角度数弧度数3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆．5.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有；；；；6.三角函数在各个象限的符号必须熟悉每个三角函数在各象限的符号：，，，还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅，为正，其余为负.一、角概念的推广例题解析例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知，下列各组角中，终边相同的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【分析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得.【详解】A不是终边相同的角，终边在x轴的正半轴上，终边在x轴轴上；B是终边相同的角；C不是终边相同的角终边落在直线上，终边落在两条射线上；D不是终边相同的角，终边落在坐标轴上，终边落在y轴上.故选：B【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k取值进行比较验证.例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知是第二象限角，则是（）A．锐角 B．第一象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角【答案】C【分析】根据是第二象限角，得到,再得到的范围判断。【详解】因为是第二象限角，所以,,当k为偶数时，是第一象限角，当k为奇数时，是第三象限角，所以是第一、三象限角.故选：C【点睛】本题主要考查象限角，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】D【分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解.【详解】对于A，因为，所以与终边相同；对于B，因为，所以与终边相同；对于C，因为，所以与终边相同；对于D，若，解得，所以与终边不同.故选：D.例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知，则的终边在第________象限【答案】三【分析】利用终边相同的角的公式化简可得.【详解】,在第三象限，在第三象限.故答案为：三【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：或．例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在轴负半轴上的角的集合为___________________【答案】【分析】先找到一个终边在轴负半轴上的角，然后再加上周期．用集合表示即可．【详解】终边在轴负半轴上的一个角为，因此终边在轴负半轴上的角的集合为，故答案为：．【点睛】本题考查终边相同角的表示，掌握终边相同角的概念是解题基础．例6.（2020·上海市金山中学高一期中）角是第_______象限角．【答案】三【分析】根据给的角度变形为，然后利用终边相同的角的关系式即可得到答案.【详解】因为,所以与是终边相同的角，而位于第三象限，所以角是第三象限角.故答案为：三【点睛】本题主要考查终边相同的的角，属于基础题.例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与角终边重合的角的集合是________【答案】【分析】根据终边相同的角的定义求解.【详解】由终边相同的角的定义得：与角终边重合的角是，所以与角终边重合的角的集合是.故答案为：【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.巩固练习1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若是第一象限的角，则是第________象限的角．【答案】第一或第三【分析】根据所在象限写出范围,然后求出的范围即可判断所在象限．【详解】因为是第一象限的角,所以,即有,当为偶数时,是第一象限的角；当为奇数时,是第三象限的角；故答案为第一或第三．【点睛】本题主要考查象限角的集合．2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于且终边与角重合的负角是________.【答案】【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.【详解】大于且终边与角重合的负角是.故答案为：【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果是第三象限角，则的终边一定不在第_________象限.【答案】二【分析】根据是第三象限角，求得的范围，分别令，，可判断终边所在象限，即可得答案.【详解】由题意得：，所以，当时，，则的终边在第一象限；当时，，则的终边在第三象限；当时，，则的终边在第四象限，所以的终边一定不在第二象限，故答案为：二4．若，试判断角所在象限。【难度】★【答案】∵∴与终边相同，所以，在第三象限。5.在的范围内，求终边在轴上的角组成的集合.【难度】★【答案】6.．在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）（2）（3）【难度】★【答案】（1），所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；（2），所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；（3），所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。7.．在间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角。（1）；（2）；（3）【难度】★【答案】（1）∵∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；（2）∵∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；（3）所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．二、弧度制与扇形公式例题解析例1.把角化为弧度制．【难度】★【答案】.例2.若两个角的和是1弧度，此两角的差是，试求这两个角．【难度】★★【答案】设这两个角为弧度，则解得，例3.指出下列各角所在的象限：（1）；（2）．【难度】★【答案】三，一【解析】解：（1）=2π+.∵π<，∴是第三象限角.（2）.∵，∴是第一象限角.例4.设集合M={α|α=，k∈Z}，N={α|－π＜α＜π，则M∩N等于（）A．{－} B．{－}C．{－} D．{}【难度】★【答案】C例5.若，且角的终边与角的终边互相垂直，求角.【难度】★★【答案】例6.已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？【难度】★★【答案】设扇形半径为，扇形弧长为，扇形的圆心角为，则.，解得，扇形面积∴当时，扇形面积最大，最大值为625.例7.在扇形中，，弧长为，则此扇形内切圆的面积是___________【难度】★★【答案】巩固练习1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（） A．2 B． C． D．【难度】★【答案】B2．一钟表的分针长10cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（）A．70cm B．cm C．()cm D．cm【难度】★★【答案】D3．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4cm，则弓形的面积是：（）A．（）cm2 B．（）cm2C．（）cm2 D．（）cm2【难度】★【答案】C4．在内与终边重合的角是___________。【难度】★【答案】5．与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。【难度】★【答案】；6．的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。【难度】★【答案】7．（2020·上海市莘庄中学高一月考）已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为，则扇形的面积是________．【答案】8．（2020·上海市建平中学高一期中）已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.【答案】99．（2020·上海市控江中学高一期中）圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.【答案】210．（2020·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）扇形的圆心角，半径，则弧长______________.【答案】11．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）一个扇形半径是，圆心角的弧度数是，则此扇形的面积是__________.【答案】412．（2020·上海市实验学校高一期中）已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为________.【答案】13．（2020·上海市沪新中学高一期中）用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是______________.【答案】14．（2020·上海浦东新区·高一期中）已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______【答案】115．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的半径是________．【答案】216．（2021·上海市行知中学高一期末）设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________．【答案】17．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为_________．【答案】；18．圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________【难度】★★【答案】19．一个扇形的面积是,它的周长是,则圆心角为弧度；弧长为cm．【难度】★★【答案】2,2【解析】假设圆心角为，弧长为，则半径。则由题意，得故扇形的圆心角为2弧度，弧长为2厘米20．把角化为角度制。【难度】★【答案】。21．已知（），且，问是第几象限角？【难度】★★【答案】解.当，∴是第二象限角.当，∵∴是第四象限角.∴是第二象限角或是第四象限角.22．已知，且的6倍角的终边与角的终边互为反向延长线，求角【难度】★★【答案】23．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，.（1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值.【答案】（1），（2）当时，最大为任意角的正弦、余弦、正切及余切例题解析例1.已知角的终边上有一点，求的各三角函数值.【难度】★【答案】由已知，，.∵，∴.∴，，，，，.例2.已知角的终边经过点，求的值.【难度】★【答案】若，，，点在第四象限..,.∴.若，，，点在第二象限..，.∴.【解析】因的符号不确定，所以要对字母进行讨论.当，点在第四象限，当，点在第二象限.例3.若点在角的终边上，则下列函数中不存在的是（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D例4.是的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【难度】★★【答案】B例5.求值：（1）；（2）.【难度】★★【答案】（1）.（2）.例6.已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】C例7.求函数的定义域.【难度】★★【答案】②①由已知②①由①，角的终边在轴上，或第一象限，或第四象限，或在轴的非负半轴上.由②，，角的终边在第二象限，或第四象限，或在轴上.∴角的终边在第四象限或轴的非负半轴上.∴函数的定义域为.例8.下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★★【答案】A例9.已知，，判断的符号.【难度】★★【答案】∵，，∴是第二象限角，.∴.当，，是第一象限角，.当，，是第三象限角，.∴必为正数.例10.若，证明：（1）；（2）.【难度】★★★【答案】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.由，为直角三角形，且，，.在中，，∴.（2）如图，，分别为角的正弦线和正切线.连结.由，显然有.，，，∴..例11.若，则下列各不等式中成立的是（）A．B．C．D．【难度】★★【答案】D例12.用三角函数的定义证明：【难度】★★【答案】设为角终边上一点，，则..巩固练习1．已知，则________.【难度】★【答案】—22．如果＝，且是第四象限的角，那么＝．【难度】★【答案】3．已知点在角的终边上，且，则＝．【难度】★【答案】4．已知，求的值．【难度】★