第10讲函数的奇偶性和单调性（原卷版）-2022年高三数学讲义

第10讲函数的奇偶性和单调性（原卷版）学习目标：1．掌握函数的奇偶性和图像的性质；能判断一些简单函数的奇偶性；能判断分段函数、抽象函数的奇偶性；2．会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式；3．会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质；4．掌握函数的单调性的相关概念，熟练应用定义法证明函数的单调性；5．掌握奇偶性与单调性的联系以及复合函数单调性法则，并会灵活应用教学内容 1.给出下列函数:（1）；（2）；（3）；（4）（5）其中不存在反函数的是__________________.2.求下列函数的反函数：（1）；（2）；3.若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值知识点一：函数奇偶性知识梳理1．偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)结论函数f(x)叫作偶函数函数f(x)叫作奇函数图象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称2．奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．即：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（记忆窍门：奇(－)偶(＋)）(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若g(x)是偶函数函数，那么y=f(g(x))一定是偶函数.（复合函数奇偶性口诀：内偶则偶，内奇同外）3．判断函数奇偶性的方法(1)定义法注：①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．(2)图象法(3)性质法：①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数例题精讲一、函数的奇偶性 （一）判断函数奇偶性【例1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是偶函数【例2】判断函数的奇偶性：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．【例3】是非奇非偶函数，证明如下：，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法．【例4】如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的正六边形，.直线与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数的奇偶性为（ )xLNMOFExLNMOFEDCBAy C．不是奇函数，也不是偶函数 D．奇偶性与有关[来【例5】已知函数，其中.根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由．【例6】若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为_____．【例7】已知函数对一切，都有．求证：为奇函数．（二）利用函数奇偶性【例8】定义在上的函数是奇函数，则常数___,____【例9】、设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是定义在上的函数，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数”是“SKIPIF1<0为偶函数”___的条件。充分而不必要【例9】（1）已知是奇函数,且.若,则_______.（2）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则x0y123y=f(x)y=g(x)13、已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[x0y123y=f(x)y=g(x)【例10】设为定义在上的奇函数,且时,,则函数在上的零点个数为（）A． B． C． D．【例11】已知函数()，如果（），那么的值是（） A． B．3C．5D．【例12】设是函数的图象上一点，向量，，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则_____．【例13】设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为___________．【例14】已知定义在上的函数(为实常数)，（1）当时，证明：不是奇函数；（2）设是奇函数，求与的值；（3）当是奇函数时，证明对任何实数，都有成立．巩固练习1、判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）2、函数是偶函数的充要条件是___________3、为上的奇函数，当时，，则当时,=。4．设函数，其中、（，）为已知实常数，.下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是_______________．①若，则对任意实数恒成立；②若，则函数为奇函数；③若，则函数为偶函数；5．已知，，且，，则=_____．6．设函数是定义域为的奇函数，，，求的值．7．已知函数，，，且与的图像在轴上的截距相等．（1）求的值；（2）若，，试讨论函数的奇偶性．8．已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等．（1）求的值；（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性．知识点二：函数单调性知识梳理1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反；(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝eq\r(f（x）)的单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．(6)对于任意的，都有，表示单调递增；对于任意的，都有，表示单调递减．3．判断函数单调性(单调区间)的常用方法(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(切记：高考中对函数单调性的证明，只能使用定义法)(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．(3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表：函数增减情况内函数t＝φ(x)增增减减外函数y＝f(t)增减增减y＝f(φ(x))增减减增y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．(4)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性增函数与减函数定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，，当时，都有（），那么就说在区间上是增（减）函数．注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤【步骤】①任取，且；②作差（偶有做商比较大小的）；③变形（通常是通分、因式分解和配方）；④定号（即判断差的正负）；⑤下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）；单调性的其它等价形式①对于任意的，都有，表示单调递增；对于任意的，都有，表示单调递减.②对于任意的，都有，表示单调递增；对于任意的，都有，表示单调递减.③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有恒成立，则在定义域内递增；恒成立，则在定义域内递减.例题精讲（一）单调性概念【例15】下列命题中正确的命题是（）A．若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；B．若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；C．函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；D．若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数．【例17】已知函数，单调递增区间为_____．【例18】，证明是上的递增函数．【例19】判断函数在区间上的单调性。【例20】已知，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围【例21】定义在上的偶函数在上是增函数，且对一切,恒有成立，试判断在上的单调性，并证明你的结论．【例22】已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____．【例23】2、求下列函数的单调区间：（1）函数的单调增区间为____________（2）求函数的单调区间。【例24】设,函数在单调递减,则（） A．在上单调递减,在上单调递增 B．在上单调递增,在上单调递减 C．在上单调递增,在上单调递增 D．在上单调递减,在上单调递减【例25】设x∈R，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则的值等于_____．【例26】动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D．和【例27】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：=1\*GB3①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；=2\*GB3②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ） A．=1\*GB3①和=2\*GB3②均为真命题 B．=1\*GB3①和=2\*GB3②均为假命题 C．=1\*GB3①为真命题，=2\*GB3②为假命题 D．=1\*GB3①为假命题，=2\*GB3②为真命题【例28】已知函数，，．（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；（2）当时，求证函数存在反函数．【例29】在定义域上满足任意， （1）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由； （2）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由．巩固练习1．函数的增区间是，则的递区间是_____．2、的递增区间是__________，递减区间是__________。3、求函数的单调递增区间4、．证明在定义域上为减函数.5、求的单调递增区间6、已知函数，函数,求函数的单调区间？7、已知函数，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．8．设为奇函数，为常数．（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．知识点三：奇偶性单调性综合知识梳理奇偶性单调性综合应用例题精讲（二）利用函数单调性【例30】，在定义域上为增函数，则的取值范围．【例31】已知是上的减函数，那么的取值范围是_____．【例32】已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，求的取值范围．【例33】问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．【例34】，（1）在区间上是增函数，求的取值范围；（2）的单调递增区间是，求的取值范围．【例35】对于定义域为的函数，若有常数，使得对于任意的,存在唯一的满足等式，则称为函数的“均值”．（1）判断1是否为函数的“均值”，请说明理由；（2）若函数存在“均值”，求实数的取值范围．【巩固训练】1．是否存在实数，使函数在区间上是增函数？如此存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由．2．已知函数，若在是增函数，求实数的范围.3、已知函数.（1）用定义证明：当时，函数在上是增函数； （2）若函数在上有最小值，求实数的值．三、函数的奇偶性与单调性综合应用【例36】下列函数：①；②；③；④；⑤中，既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为．（写出符合要求的所有函数的序号）【例37】【2012年嘉定区一模理科第12题】已知函数，，则满足的的取值范围是________________．【例38】（黄浦区2013届高三一模理科17）若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（ ） A．1B．2C．3D．4【例39】（青浦区2013届高三一模18）已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（ ） A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负【例40】已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【例41】已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是________________．【例42】已知函数的定义域是且，,当时,．(1)求证:是奇函数；(2)求在区间)上的解析式；(3)是否存在正整数，使得当x∈时,不等式有解?证明你的结论．【例43】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值；（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．巩固练习1．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是() A． B． C． D．2．定义在R上的偶函数满足：对任意的，有恒成立.则当时，有（ ）A． B． C． D．3．已知函数，，若对任意的，均有，则实数的取值范围是．4．设函数，.（1）解方程：；（2）令，，求证：；（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．5．对于函数，若存在实数，使成立，则称为函数的不动点．⑴已知函数．①若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；②在①的条件下，若的图像上两点的横坐标都是函数的不动点，且两点关于直线对称，求实数的最小值．⑵命题“若定义在实数集上的奇函数存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．1、已知，，则的单调递增区间.2、如果函数在区间上是减函数，则的取值范围是3、若函数在上单调递减，求实数的取值范围。4.已知是上的减函数，那么的取值范围是5、已知函数,满足对任意,都有成立,则的取值范围是__________.6、已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围．7、已知函数式定义在上的偶函数，且在上是增函数，且，求满足的的取值范围。8、已知是定义在上的奇函数，且它在区间上单调递减，且，求实数的取值范围。9、“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是．10、已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是。11、已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，并且，求实数的取值范围．12、下列命题中正确的命题是………………（）（