第1讲集合命题充要条件（讲义）（原卷版）

第1讲集合、命题、充要条件知识梳理<1>集合的有关知识1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。任何一个对象对于某一个集合来说，或是属于该集合，或是不属于该集合。集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性；集合的分类：有限集，无限集，空集；常用数集：正整数集，自然数集，整数集，有理数集，实数集；集合的表示法：列举法和描述法。2.子集与真子集子集：若集合中任何一个元素都属于集合，则集合叫做集合的子集，记作或；真子集：对于集合和，若,且中至少有一个元素不属于，则集合叫做集合的真子集，记作相等的集合：对于两个集合和，若，且，则叫做集合与集合相等，记作；空集是任何集合的子集，即，空集是任何非空集合的真子集；任何集合是其自身的子集，即；子集的传递性：若，则；若，则或；相等的集合中的所含元素完全相同；连接元素与集合的符号有：和；连接集合与集合的符号有：，，等；含有个元素的集合的子集共有个,真子集有个。3.集合的运算交集：；并集：；补集：；交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，相应的补集也不同；交集的性质：，，，，；并集的性质：，，，，；，；集合的运算满足分配律：，；补集的性质：，，；摩根定律：，；例题解析1、集合的概念、关系和运算1）集合的概念与性质1．（2020·上海黄浦区·格致中学高三月考）已知集合，若，则实数的值为________2．（2020·上海市崇明中学高三期中）集合用列举法可以表示为___________.3．（2020·上海市松江二中高三期中）定义集合运算：.设，，则集合的所有元素之和为______.4．（2021·上海黄浦区·高三一模）已知集合，若，则___________.5．（2020·上海闵行区·高三一模）已知集合，则__________.6．（2020·上海市七宝中学高三月考）已知集合，，，则非零实数______.7．（2020·上海市崇明中学高三期中）不等式的解集为，且，则实数的取值范围是___________.8．（2020·上海闵行区·高三一模）已知集合，，则=___________.(用列举法表示)9．（2020·宝山区·上海交大附中高三期中）设是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中和分别为10以内的非负整数，且，，若集合，则中所有元素的和为_____.10．（2020·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）已知整数数列共5项，其中，，且对任意，都有，则符合条件的数列个数为______.11．（2020·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）设M是由满足下列性质的函数构成的集合：在定义域内存在，使得成立，已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4），其中属于集合M的函数是____________.（写出所有满足要求的函数的序号）12．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知，表示小于的最大整数，，令，则中元素之和为________.2）集合的关系1．（2020·上海市崇明中学高三期中）已知命题“若，则”是真命题，集合满足，集合满足.下列判断正确的是（）A． B． C． D．2．（2021·上海华师大二附中高三月考）已知全集，，是的非空子集，且，则必有（）A． B． C． D．3．（2020·上海高三专题练习）符合关系的集合A的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．84．（2020·上海普陀区·高三月考）已知常数，不等式的解集为，不等式的解集为，则下列关系式中不可能成立的是（）A． B． C． D．5．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知非空集合M满足：对任意，总有，且，若，则满足条件的M的个数是A．11 B．12 C．15 D．166．（2020·上海普陀区·高三一模）设集合，，若⊆，则对应的实数对有A．对 B．对 C．对 D．对7．（2020·上海市行知中学高三开学考试）若、，点集，，，则（）A． B． C． D．以上皆错8．（2020·上海崇明区·高三二模）已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题9．（2020·上海黄浦区·格致中学高三月考）已知集合，若，则实数的值为________10．（2020·上海市崇明中学高三期中）集合用列举法可以表示为___________.11．（2020·上海市松江二中高三期中）定义集合运算：.设，，则集合的所有元素之和为______.12．（2020·上海崇明区·高三月考）已知或，或，如果是的必要非充分条件，那么实数的取值的集合为________13．（2020·徐汇区·上海中学高三期中）对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即，若非空集合满足以下两个条件：①；②，则称为的一个“保均值真子集”；据此，集合的“保均值真子集”有________个14．（2021·上海金山区·高三一模）已知集合，，若，则实数的取值范围是___________.15．（2020·上海市七宝中学高三月考）已知集合，，，则非零实数______.16．（2020·上海市崇明中学高三期中）不等式的解集为，且，则实数的取值范围是___________.17．（2020·上海闵行区·高三一模）已知集合，，则=___________.(用列举法表示)18．（2021·上海杨浦区·高三二模）非空集合中所有元素乘积记为.已知集合，从集合的所有非空子集中任选一个子集，则为偶数的概率是__________．（结果用最简分数表示）19．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知，表示小于的最大整数，，令，则中元素之和为________.20．（2020·上海市崇明中学高三期中）已如全集为，集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的范围.21．（2020·上海市嘉定区第二中学高三期中）已知，.（1）若m=3，求；（2）若，求实数m的取值范围.3）集合的运算一、单选题1．（2020·上海市新场中学高三月考）设全集，，，则（）A． B． C． D．2．（2020·上海青浦区·高三一模）设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，则下列说法：（1）一定有；（2）若，则；（3）一定有；（4）若，则.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则，②对任意，若，则，下列说法正确的是（）A．若有2个元素，则有3个元素B．若有2个元素，则有4个元素C．存在3个元素的集合，满足有5个元素D．存在3个元素的集合，满足有4个元素4．（2020·上海市建平中学高三期中）设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意，存在使得，则满足条件的集合的个数为（）A．3 B．5 C．7 D．无穷个二、填空题5．（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）已知全集，集合或，则________．6．（2020·上海虹口区·高三一模）已知集合，，则___________.7．（2020·上海嘉定区·高三一模）已知集合，，则___________.8．（2020·上海市洋泾中学高三期中）已知，则__________.9．（2020·上海浦东新区·高三一模）已知集合，，则=________．10．（2021·上海徐汇区·位育中学高三开学考试）设，，则________.11．（2021·长宁区·上海市延安中学高三期中）已知全集，集合，集合，则________.12．（2021·上海普陀区·高三二模）设全集，若集合，则___________．13．（2021·上海高三二模）集合，，则等于_______________．14．（2021·上海金山区·高三二模）已知集合，集合，若，则=_______15．（2021·上海高三二模）已知集合，，则___________.16．（2020·上海徐汇区·高三一模）设集合，则__________．三、解答题17．（2020·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）已知A=x|18．（2020·上海）设复数集合，求集合中元素的模的范围．19．（2020·上海市松江二中高三期中）已知，.（1）求；（2）已知集合，，，若，求实数的取值范围.20．（2020·上海市行知中学高三开学考试）定义：有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集，①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.知识梳理<2>命题的有关知识1.命题：能够判断真假的陈述句叫命题。分类：真命题和假命题;简单命题和复合命题。命题和命题真命题假命题如果，并且，那么记作，叫做与等价2.四种命题形式：规定命题的否定形式为原命题：逆命题：否命题：逆否命题：注：常见结论的否定形式：（拓展内容）原结论否定形式原结论否定形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有个至多有1个小于大于或等于至多有个至少有+1个对所有的成立存在不成立或非且非对任何的不成立存在成立且非或非3.复合命题的真值（真值表如下）“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p真假假真“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqp且q真真真真假假假真假假假假“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：pqP或q真真真真假真假真真假假假4.四种命题的关系：原命题与逆否命题是等价的，即同真同假<3>充分条件与必要条件:若成立，则称为的充分条件，为的必要条件若既有成立，又有成立，则称、互为充要条件。证明：①充分性：②必要性：<4>子集与推出关系：设若，则的充分条件；若，则的必要条件；若，则的充分非必要条件；若，则的必要非充分条件；若，则的充要条件例题解析2、命题的形式和充要条件 1）命题的形式1．（2020·浦东新区·上海师大附中高三期中）下列命题中，正确命题的个数是（）①的反函数是；②，的反函数是，；③，的反函数是，；④已知函数，若存在，，且，使成立，则.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2020·上海杨浦区·高三二模）设是2020项的实数数列，中的每一项都不为零，中任意连续11项的乘积是定值.①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1.命题的真假情况为（）A．①和②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．②是真命题，①是假命题 D．①和②都是假命题3．（2021·上海市实验学校高三开学考试）已知集合M、P都是非空集合，若命题“M中的元素都是P中的元素”是假命题，则下列必定为真命题的是（）A． B．M中至多有一个元素不属于PC．P中有不属于M的元素 D．M中有不属于P的元素4．（2021·上海静安区·高三一模）已知，命题：若，则且的逆否命题是__．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设常数，命题“存在，使”为假命题，则a的取值范围为_________.6．（2020·上海市行知中学高三开学考试）定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________.2）充要条件1．（2021·上海高三二模）已知､､､都是非零实数，成立的充要条件是（）A． B．C． D．2．（2021·上海高三二模）已知函数，则“”是“为偶函数”的（）条件A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件3．（2021·上海普陀区·高三二模）设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（）A．，且， B．，，且 C．，且 D．，，且4．（2021·上海杨浦区·高三二模）若，是虚数单位，则“”是“为纯虚数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2021·上海高三二模）设，表示两个不同的平面，表示一条直线，且，则是的（）A．充分而不必要条件 B．充分必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．（2021·上海华师大二附中高三月考）“是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件7．（2021·上海徐汇区·位育中学高三开学考试）“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必要8．（2021·上海高三二模）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2021·长宁区·上海市延安中学高三期中）设，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2021·上海市实验学校高三开学考试）无穷等差数列的首项为，公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要简单的逻辑关联词1．（2016·上海闵行区·闵行中学高三开学考试）给出下列四个命题：①两根均为实数的一元二次方程一定是实系数方程；②已知曲线:和两定点､,若是上的动点,则；③设是定义在上的函数,且对任意的,恒成立,则是上的奇函数或偶函数；④设､均是定义在上的函