专题24圆锥曲线中的存在性探索性问题微点3圆锥曲线中的存在性探索性问题综合训练（学生版）

专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点3圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点3圆锥曲线中的存在性、探索性问题综合训练1．设常数．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x=t，曲线：，与x轴交于点A、与交于点B．P、Q分别是曲线与线段AB上的动点．（1）用t表示点B到点F距离；（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（2022·上海青浦·二模）2．已知椭圆的右焦点为，过的直线交于两点．(1)若直线垂直于轴，求线段的长；(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求△面积的最大值；(3)若椭圆上存在点使得，且△的重心在y轴上，求此时直线l的方程．3．已知椭圆的离心率为，椭圆C的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（2022·安徽省舒城中学三模）4．已知椭圆，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．(1)若是短轴，求点C坐标；(2)是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．5．设椭圆的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点S，T满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．（2022·上海交大附中模拟预测）6．已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．(1)若的坐标为，求四边形的面积；(2)若与椭圆相切于且，求的值；(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．（2022·上海市光明中学模拟预测）7．已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．(1)若的坐标为，求的值；(2)若，且，试判断是否位于双曲线上，并说明理由；(3)若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．（2022·湖北·模拟预测）8．如图，椭圆M：的两焦点为，，A，B是左右顶点，直线l与椭圆交于异于顶点的C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BC斜率之积为．(1)求椭圆M的方程；(2)直线AC与直线BD交于点Q，设点P与点Q横坐标分别为，，则是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点．若四边形的面积为，且，，成等差数列．(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆外一点(不在坐标轴上)连接，，分别与椭圆交于，两点，直线交轴于点．试问：，两点横坐标之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不是，说明理由．（2022·江苏南京·模拟预测）10．已知圆：，动圆与圆内切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)若直线过点，且与交于，两点，与轴交于点，满足，（，），试探究与的关系．（2022·山东·胜利一中模拟预测）11．在平面直角坐标系中，已知，，，，点M满足，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点A和B，在线段AB上取点Q，满足，直线交直线于点R，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．（2022·四川·树德中学模拟预测）12．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过，椭圆的离心率为的．(1)求椭圆与椭圆的标准方程：(2)设过原点且斜率存在的直线l与椭圆相交于A，C两点，点P为椭圆的上顶点，直线PA与椭圆相交于点B，直线PC与椭圆相交于点D，设的面积分别为试问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．（2022·广东·华南师大附中三模）13．已知在△ABC中，，，动点A满足，，AC的垂直平分线交直线AB于点P．(1)求点P的轨迹E的方程；(2)直线交x轴于D，与曲线E在第一象限的交点为Q，过点D的直线l与曲线E交于M，N两点，与直线交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为，，，①求证：是定值．②若直线l的斜率为1，问是否存在m的值，使？若存在，求出所有满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）14．已知△ABC的顶点，，满足：．(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）15．已知椭圆的短轴长等于，离心率．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过左焦点F作直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．（2022·北京·景山学校模拟预测）16．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是A，B，且．(1)求椭圆E的标准方程；(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于1，判断直线MN是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）17．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在直线的同侧，且点到直线l的距离分别为．(1)若椭圆C的方程为，直线l的方程为，求的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线l与椭圆C有两个公共点，试求所需要满足的条件；（2022·湖南·雅礼中学二模）18．如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）19．已知点是离心率为的椭圆上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合.(1)求椭圆的方程；(2)直线、的斜率之和是否为定值：若是求出定值，不是则说明理由.20．在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，动直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线分别交椭圆及直线于点，如图，当两点分别是椭圆的右顶点及上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且．(1)求椭圆的标准方程；(2)如果是的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．21．若是双曲线的两个焦点．(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；(2)能否在双曲线的左支上找到一点，使是到左准线的距离与的等比中项？若能，求出的坐标，若不能，说明理由．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）22．已知双曲线，(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；(2)是否存在直线，使得为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.23．已知椭圆的标准方程为．(1)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．(2)设动点满足：，其中，是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在点，使得点到的距离与到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．24．已知，平面内一动点满足．(1)求点运动轨迹的轨迹方程；(2)已知直线与曲线交于，两点，当点坐标为时，恒成立，试探究直线的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．25．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．26．设中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为，为的右焦点，为上一点，轴，的半径为．(1)求椭圆和的方程；(2)若直线与交于，两点，与交于，