第04讲利用导数证明不等式（学生版）

第04讲利用导数证明不等式（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2021年新I卷，第22题,12分利用导数证明不等式利用导数求函数的单调区间(不含参)导数中的极值偏移问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数证明函数的单调性2能求出函数的极值或给定区间的最值3能进行函数转化证明不等式【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养都有较深入的考查，需综合复习知识讲解在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成．1.利用曲线的切线进行放缩证明不等式设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有．利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．2.利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）．综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）．与有关的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．考点一、利用导数证明不等式1．（2023·天津·统考高考真题）已知函数．(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，证明：；(3)证明：．2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.1．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论的极值；(2)当时，证明：.2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数．(1)当时，证明：恒成立；(2)当时，证明：．3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若，求证：；(3)求证：对于任意都有．4．（2023·浙江·校联考三模）已知函数.(1)令，讨论的单调性；(2)证明：；(3)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.5．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知函数．(1)令，讨论在的单调性；(2)证明：；(3)若，对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．6．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数．(1)若存在唯一零点，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：．7．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知函数.(1)求函数的最大值；(2)当时，证明：.8．（2023·广东湛江·统考二模）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程．(2)若存在使得，证明：（i）；（ii）．【基础过关】1．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知为函数的极值点．(1)求；(2)证明：当时，．2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数.(1)证明：；(2)证明：.3．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，其中(1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围；(2)证明：，其中．4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数(1)若单调递增，求a的值；(2)判断（且）与的大小，并说明理由.5．（2023·北京密云·统考三模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的值；(2)已知且，求证：.7．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数．(1)若函数有两个零点，求a的取值范围；(2)证明．8．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．(1)证明：；(2)讨论的单调性，并证明：当时，．9．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数a的值；(2)已知且，求证：.10．（2023·山东枣庄·统考二模）已知函数．(1)当时，求证：；(2)当时，函数的零点从小到大依次排列，记为证明：（i）；（ii）.【能力提升】1．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，．2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论的极值；(2)当时，证明：.3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数，为的导函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，有且只有两根，（）.①若，求实数a的取值范围；②证明：.4．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数.(1)求的极值；(2)求证：.5．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知，有且仅有一条公切线，(1)求的解析式，并比较与的大小关系．(2)证明：，．6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,若有两个实数根,且.求证:.7．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数.(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求直线的方程；(2)已知，证明：.8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若在上单调递增，求的值；(2)证明：（且）.9．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数(1)求在处的切线;(2)若，证明当时，.10．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若，且，证明：.【真题感知】1．（全国·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．2．（浙江·高考真题）设函数=，．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．3．（安徽·高考真题）设为实数，函数．(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，．4．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.5．（2021·全国·统考高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．6．（2020·天津·统考高考真题）已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ