32583821解密19双曲线(讲义)-2022年高考数学（理）二轮复习讲义分层训练

解密19双曲线考点热度★★★★★内容索引核心考点1双曲线的定义及方程核心考点2双曲线的性质高考考点三年高考探源预测双曲线的定义及方程2021课标全国甲卷文、理52020课标全国Ⅲ11从近三年的考查情况来看，本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等．双曲线的性质2021课标全国乙卷文、理132020课标全国Ⅰ152020课标全国Ⅱ82019课标全国Ⅰ162019课标全国Ⅱ112019课标全国Ⅲ10核心考点一双曲线的定义及方程考法双曲线的定义及方程变式一双曲线定义的应用1、（2021·山东·济南外国语学校模拟预测）已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（）A．8 B．9 C．10 D．【答案】D【解析】根据三角形周长和双曲线的定义，可得到周长与实半轴和的关系，进而求出的值．【详解】由题意三角形的周长为，由双曲线的定义，可知，所以，由题意，可知，，，所以，解得．故选：．2、（2022·四川眉山·高二期末（理））已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（）A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线【答案】A【解析】根据垂直平分线的性质，结合图分析点P到，的距离只差可知.【详解】由题意及图可知，，因为O、M分别为的中点，所以，所以故点P的轨迹是以，为焦点，2为实轴长的双曲线.故选：A☆技巧点拨☆双曲线的定义是基础知识，很少单独在高考中出现，但其基础性不容忽视，注意掌握以下内容：1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意这一隐含条件．2．双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有.3．由,知≥1,所以x≤a或x≥a,因此双曲线位于不等式x≥a和x≤a所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.变式二求双曲线的方程1、（2021·全国·高二专题练习）双曲线的两个焦点分别是(0，－5)、(0，5)，离心率为1.5，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【答案】B【解析】根据焦点得出c，再根据离心率求出a，进而求出b，最后得到答案.【详解】∵c=5，=1.5，∴a=，∴b2=c2－a2=，∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的方程为=1.故选：B.2、（2021·浙江·台州市书生中学高二阶段练习）若双曲线E：的左､右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于（）A．26或6 B．26 C．6 D．28【答案】B【解析】根据双曲线的方程求出a，c，结合，判断点P在双曲线的左支或右支上，再利用双曲线的定义求解.【详解】因为双曲线方程为：，所以，则，又，所以点P在双曲线E上的左支上，由双曲线的定义得，解得，故选：B☆技巧点拨☆求解双曲线的方程在高考中经常出现，且一般以选择题或填空题的形式出现，求解时需注意：1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.核心考点二双曲线的性质考法双曲线的性质变式一求双曲线的渐近线1、（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的一条渐近线方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题知,双曲线的焦点在轴上,进而计算,再求渐近线方程即可得答案.【详解】解:由题知,双曲线的焦点在轴上,所以,所以双曲线的渐近线为故选:B2、（2022·江西南昌·高二期末（理））设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据双曲线的定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.【详解】解：因为在双曲线中，因为，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.变式二求双曲线的离心率1、（2021·全国·高三专题练习（理））已知双曲线：的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知双曲线为焦点为轴上的双曲线，故由题知，再结合公式求解即可.【详解】因为双曲线：的渐近线方程为，所以双曲线为焦点为轴上的双曲线，且所以，所以双曲线的离心率为：.故选：B【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程求离心率，考查运算求解能力，解题的关键在于熟练判断双曲线的焦点坐标所在轴及对应的渐近线方程，离心率公式,是中档题.2、（2022·四川凉山·高二期末（理））凉山美酒惹人醉，凉山的酒杯更是让人爱不释手，如图为彝族漆器，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是彝族酒器的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线，，围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该酒杯主体部分的上口外半径BM为，下底外半径AN为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由已知得出点，的坐标，然后代入双曲线方程求出，的值，由此求出的值，即可求解．【详解】由题意可知，，故双曲线经过，两点，则，解得，，所以，则双曲线的离心率为，故选：A．3、（2022·广东南沙·高二期末）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，从而由可知轴，所以在直角三角形中，，由，可得的范围，进而转化为，的不等式，结合可得离心率的取值范围．【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，所以由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第一象限，由轴，可知轴，所以，在直角三角形中，，因为，所以，，即，所以，即，即，故，所以.故选：B．☆技巧点拨☆双曲线的离心率是双曲线的性质中非常重要的一个，高考中若出现关于双曲线的题目，基本都要涉及，所以求双曲线离心率的方法一定