专题08数列求和（奇偶项讨论求和）(典型例题题型归类练)（原卷版）

专题08数列求和（奇偶项讨论求和）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求的前项和角度2：求的前项和类型二：通项含有的类型；例如：类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题二、典型例题类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求的前项和例题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足(1)求和的通项公式；第（2）问解题思路点拨：由（1）知：,，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧，由于奇偶项通项比较复杂，可设；第（2）问解题思路点拨：由（1）知：,，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧，由于奇偶项通项比较复杂，可设；，则（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）分组求和当为奇数当为偶数，两式相减得：综上：角度2：求的前项和例题2．（2022·山东日照·模拟预测）已知数列中，，，（），，，，成等差数列．第（2）问解题思路点拨：由（1）知，代入即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧第（2）问解题思路点拨：由（1）知，代入即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧当为偶数时，数列{的前项中有个奇数项，有个偶数项．（注意到本例求解的，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：(2)设，求数列的前项和．感悟升华（核心秘籍）（1）对比例题1，例题2，通项都是分段式，在求和时都使用（奇偶项分组求和法）；不同的是，例题1求前项和；例题2求前项和；（2）对于例题1求，其中奇数项，偶数项各项，可直接分组求和，无需讨论；（3）对于例题2求，注意到最后一项是代入哪个表达式，不确定，故需要讨论，在讨论时，作为核心技巧，先讨论为偶数，再利用为偶数的结论，快速求为奇数的和；（4）当为偶数时:，其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分组求和；（5）当为奇数时，，其中可利用上述结论代入，然后再快速求解.类型二：通项含有的类型通项含有的类型；例如：例题3．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））在数列中，，数列的前项和满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．第（2）问解题思路点拨：由题意知第（2）问解题思路点拨：由题意知，求，代入：注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的，代入最后一项，是正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：例题4．（2022·重庆八中模拟预测）已知是公差不为零的等差数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列，数列化的前项和为第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，可代入到第（2第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的为偶数项和，代入最后一项，一定是正，故不需要讨论）分组求和感悟升华（核心秘籍）（1）对比例题3，例题4，通项都含有“”，在求和时都使用（连续两项分组求和法：即连续的两项分一组）；不同的是，例题3求前项和；例题4求前项和；（2）对于例题3求，其中最后一项代入，是取“正”还是取“负”不确定，故需讨论为奇数还是偶数，在讨论时，作为核心技巧，先讨论为偶数，再利用为偶数的结论，快速求为奇数的和；；（3）对于例题4求，注意到最后一项一定是正，故不需要讨论；类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题例题5．（2022·江西赣州·二模（文））已知数列的前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和．第（2）问解题思路点拨：由题意知第（2）问解题思路点拨：由题意知，求，注意，所以可化简为：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正”还是取“负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的，代入最后一项，是正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，，整理：综上：感悟升华（核心秘籍）（1）已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题，如本例：，含有三角函数，需等价转化（2）常用三角函数等价转化：①②（3）将含有三角函数问题的通项，等价转化，再求和.三、题型归类练1．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列的前项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和；2．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前2n项和.3．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．4．（2022·福建三明·模拟预测）设数列的前项和为，，，．(1)求证：是等比数列；(2)设，求数列的前项和．5．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列中，(1)求，，；(2)求数列的前n项和．6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．7．（2022·全国·模拟预测）已知数列中，.（1）求证：数列是常数数列；（2）令为数列的前项和，求使得的的最小值.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知{}是各项都为正数的数列，其前n项和为，且满足.(1)求证:数列{}为等差数列；(2)设，求{}的前64项和.9．（2022·辽宁·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．10．（2022·山东济宁·三模）已知等差数列的前项和为，且，，数列满足.(1)求数列和的通项公式；(2)记，求数列的前项和.11．（2022·陕西西安·三模（理））设公差不为零的等差数列的前项