考点05基本不等式（精练）-2023年高考数学一轮复习满分（新高考地区专用）

第5练基本不等式eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)练习一利用基本不等式比较大小1、（2022·全国·高三专题练习（理））若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【解析】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.2、（2022·四川攀枝花·三模（理））已知，，设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（

）．A． B．C． D．【解析】依题意得，，，，由基本不等式得：，又为单调递增函数即，故选：D.3、【多选】（2022·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.所以成立.故B正确；对于C：因为，所以，所以.记，则，所以，所以，即.故C错误；对于D：因为所以.故D错误.故选：AB4、【多选】（2022·山东淄博·模拟预测）已知，则a，b满足（

）A． B． C． D．【解析】由，则,则所以，所以选项A不正确.,所以选项B不正确.由，因为，故等号不成立，则，故选项C正确.因为，故等号不成立，故选项D正确.故选：CD5、【多选】（2022·全国·高三专题练习）设a，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，且，则【解析】对于A：因为，所以，因为在上单减，所以.故A错误；对于B：因为，所以.故B正确；对于C：因为，所以.记函数.因为为增函数，为减函数，所以为增函数，所以.故C正确.对于D：取满足，且，但是.故D错误.故选：BC6、（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)．【解析】(1)因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，即，即，当且仅当时，等号成立.(2)因为,所以，当且仅当时，等号成立，即，即，所以，当且仅当时，等号成立.7、（2022·全国·高三专题练习）已知：，求证：.【解析】，两边平方得，根据基本不等式有，将上述个不等式相加得，即，所以，整理得，当且仅当时等号成立.练习二利用基本不等式求最值1、（2022·河南驻马店）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（

）A． B． C． D．3【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C2、（2022·吉林·模拟预测（理））已知，则的最小值是______．【解析】，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是6.故答案为：63、（2022·全国·高三专题练习）若a>0，则a＋eq\f(8,2a＋1)的最小值为________【解析】由题意可知a＋eq\f(8,2a＋1)＝a＋eq\f(1,2)＋eq\f(4,a＋\f(1,2))－eq\f(1,2)≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))×\f(4,a＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，当且仅当a＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,a＋\f(1,2))，即a＝eq\f(3,2)时等号成立。所以a＋eq\f(8,2a＋1)的最小值为eq\f(7,2)。4、（2022·全国·高三专题练习）已知0<x<1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为.

【解析】x(4-3x)=13×(3x)·(4-3x)≤13×[3x+(4−3x)2故所求x的值为23答案:25、（2022·全国·高三专题练习（理））若，则的最大值是（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.6、（2022·全国·高三专题练习（理））若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A7、（2021·辽宁）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.8、（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值是________.【解析】因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值是8，故答案为：8.9、（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知，则的最小值为（

）A．13 B．19 C．21 D．27【解析】由题意得，当且仅当即时等号成立．故选：D10、（2022·山西吕梁·三模（文））已知实数满足，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．6【解析】由得，则，当且仅当时“=”，所以的最小值为4．故选：B11、（2022·湖南湘潭·三模）已知正数a，b满足，则的最小值为___________.【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.12、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知，，，则的最小值为__．【解析】，当且仅当析，时，等号成立.故答案为：13、（2022·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.【解析】.因为，，且，所以，当且仅当即时取等.所以.，即的最大值为.故答案为：.14、（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【解析】因为，所以，则，因为，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：B.15、（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【解析】因为，所以，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.故选：A.16、（2022·四川·石室中学三模（文））已知，且，则的最小值是(

)A．49 B．50 C．51 D．52【解析】由已知，得，当且仅当，即，时等号成立．因此，的最小值是50．故选：B．17、（2022·四川成都·三模（理））若实数m，n满足，则的最大值为（

）．A．2 B．3 C． D．4【解析】由可得：，所以即，，当且仅当即时取等.故选：D.18、（2022·全国·高三专题练习）已知a>b>0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值为________。【解析】因为a>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq\f(a2,4)，所以a2＋eq\f(1,ba－b)≥a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝eq\f(4,a2)，即a＝eq\r(2)且b＝eq\f(\r(2),2)时取等号，所以a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值为4。19、（2022·天津南开·二模）已知，，则的最大值是________．【解析】因为，，则，即，当且仅当是，等号成立；又，即，当且仅当是，等号成立；故，则，当且仅当是，等号成立.故答案为：.练习三与基本不等式有关的参数问题1、（2022·上海·二模）已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________.【解析】由已知可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在.故答案为：不存在.2、（2022·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】∵，∴，∴当且仅当，即时取等号，∵当时，不等式恒成立，∴只需．∴的取值范围为：．故选A．3、（2022·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（

）A．10 B．12 C．16 D．9【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，，当且仅当时取等所以．故选：D．4、（2022·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【解析】因为，，则，所以，当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以所以实数的最大值为8.故选：C.5、（2022·全国·高三专题练习）若，且恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】不等式恒成立，即，，等号成立的条件是，即，与条件联立，解得，所以的最小值是8，即，解得：.故选：A6、（2022·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】由知，，当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，解得故选：C7、【多选】（2022·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【解析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．因为．若恒成立，则，解得．故选：AB.8、（2022·全国·高三专题练习）“”是“关于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由题意知，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，的最小值为，当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.故选：A.练习四基本不等式的实际应用1、（2022·上海市实验学校高三阶段练习）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年的平均增长率为，在为定值的情况下，的最大值为___________（用､表示）【解析】设第一年的产值为，则第二年的产值为，第三年的产值为，又这两年的平均增长率为，所以，因为为定值，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以，所以的最大值为.故答案为：2、（2022·全国·高三专题练习）蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.【解析】不妨设，，当且仅当时等号成立.千米/小时米/秒此时红灯设置时间为秒.故答案为：3、（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）如图，某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点，场地形状为矩形．根据防疫要求，采样点周围通道设计规格要求为：长边外通道宽5米，短边外通道宽8米，采样点长边不小于20米，至多长28米．(1)设采样点长边为米，采样点及周围通道的总占地面积为平方米，试建立关于的函数关系式，并指明定义域；(2)当时，试求的最小值，并指出取到最小值时的取值．【解析】(1)由题意采样点及周围通道构成的矩形的长是，宽是，故；(2)由（1）知，，当时，，当且仅当即时取等号，此时，且满足，故此时S的最小值为，此时;当时，令，则，由于时，，故，即单调递减，故，此时，满足,故S的最小值为，此时.4、（2022·全国·高三专题练习）杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．【解析】（1）由题意知：，∴.（2）由（1）知：，∴时，单调递增，则；时，，当且仅当时等号成立.综上，当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大为万元.练习五基本不等式的综合应用1、（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．【解析】过定点，所以,所以故，当且仅当时等号成立.故答案为：2、【多选】（2022·全国·高三专题练习）已知，当时，，则（

）A．， B．C． D．【解析】因为，且，可得，从而得到，因为，所以，所以，而，（，等号不成立）所以.从而可知选项ACD正确.故选：ACD3、（2022·湖南·模拟预测）已知为锐角，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【解析】因为为锐角，所以，由题意可得，当且仅当时取等号，故的最大值为，故选：A．4、（2022·山东滨州·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，成等差数列，则的面积的最大值为__________．【解析】因为，，成等差数列，所以，由正弦定理可得，又，所以，即，所以由余弦定理可得，即，又，即，当且仅当时等号成立，所以，即，因为，所以，所以，所以的面积的最大值为.故答案为：.5、（2022·全国·高三专题练习）在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线、于点、，且，，其中且，若的最小值为3，则正数的值为(

)A．2 B．3 C． D．【解析】，∵E