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文档简介
贵州思南中学2024年高三第五次模拟考试(数学试题理)试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.2.己知集合,,则()A. B. C. D.3.如图,在中,,是上一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.4.复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若,则,,,的大小关系为()A. B.C. D.6.设集合,,则().A. B.C. D.7.“”是“函数(为常数)为幂函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.已知函数,若有2个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④10.已知抛物线的焦点为,是抛物线上两个不同的点,若,则线段的中点到轴的距离为()A.5 B.3 C. D.211.已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()A. B. C. D.12.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,若向量与共线,则________.14.如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为______.15.将函数的图象向左平移个单位长度,得到一个偶函数图象,则________.16.已知数列是等比数列,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论的零点个数;(2)证明:当时,.18.(12分)平面直角坐标系中,曲线:.直线经过点,且倾斜角为,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程;(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求实数的值.19.(12分)记为数列的前项和,已知,等比数列满足,.(1)求的通项公式;(2)求的前项和.20.(12分)某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如下的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这个零件尺寸的中位数(结果精确到);(2)若从这个零件中尺寸位于之外的零件中随机抽取个,设表示尺寸在上的零件个数,求的分布列及数学期望;(3)已知尺寸在上的零件为一等品,否则为二等品,将这个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售,每箱个.企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验,已知每个零件的检验费用为元.若检验,则将检验出的二等品更换为一等品;若不检验,如果有二等品进入买家手中,企业要向买家对每个二等品支付元的赔偿费用.现对一箱零件随机抽检了个,结果有个二等品,以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据,该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验?请说明理由.21.(12分)已知四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,丄底面.(1)证明:平面平面;(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.22.(10分)设数列是等比数列,,已知,(1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.2、C【解析】
先化简,再求.【详解】因为,又因为,所以,故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.3、C【解析】
由题意,可根据向量运算法则得到(1﹣m),从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程,求出t的值.【详解】由题意及图,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理,根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键,本题属于基础题.4、A【解析】
试题分析:由题意可得:.共轭复数为,故选A.考点:1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系5、D【解析】因为,所以,因为,,所以,.综上;故选D.6、D【解析】
根据题意,求出集合A,进而求出集合和,分析选项即可得到答案.【详解】根据题意,则故选:D【点睛】此题考查集合的交并集运算,属于简单题目,7、A【解析】
根据幂函数定义,求得的值,结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时,,解得或,∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断,幂函数定义的应用,属于基础题.8、C【解析】
令,可得,要使得有两个实数解,即和有两个交点,结合已知,即可求得答案.【详解】令,可得,要使得有两个实数解,即和有两个交点,,令,可得,当时,,函数在上单调递增;当时,,函数在上单调递减.当时,,若直线和有两个交点,则.实数的取值范围是.故选:C.【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围,解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9、D【解析】
求出圆心到直线的距离为:,得出,根据条件得出到直线的距离或时满足条件,即可得出答案.【详解】解:由已知可得:圆:的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离为:,∴,而,与的面积相等,∴或,即到直线的距离或时满足条件,根据点到直线距离可知,①②④满足条件.故选:D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.10、D【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解:由抛物线方程可知,,即,.设则,即,所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.11、C【解析】
根据,两边平方,化简得,再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量,满足,且,所以,所以,所以,所以,所以与的夹角为.故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.12、B【解析】
根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
计算得到,根据向量平行计算得到答案.【详解】由题意可得,因为与共线,所以有,即,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数,意在考查学生的计算能力.14、1【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6,高为,由此能求出所得正三棱柱的体积.【详解】如图,作,交于,,由题意得正三棱柱底面边长,高为,所得正三棱柱的体积为:.故答案为:1.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意翻折前后的不变量.15、【解析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称,进而利用特殊值构造方程,从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象,即关于轴对称关于对称即:本题正确结果:【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题,关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴,进而利用特殊值的方式来进行求解.16、【解析】
根据等比数列通项公式,首先求得,然后求得.【详解】设的公比为,由,得,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)求出,分别以当,,时,结合函数的单调性和最值判断零点的个数.(2)令,结合导数求出;同理可求出满足,从而可得,进而证明.【详解】解析:(1),,当时,,单调递减,,,此时有1个零点;当时,无零点;当时,由得,由得,∴在单调递减,在单调递增,∴在处取得最小值,若,则,此时没有零点;若,则,此时有1个零点;若,则,,求导易得,此时在,上各有1个零点.综上可得时,没有零点,或时,有1个零点,时,有2个零点.(2)令,则,当时,;当时,,∴.令,则,当时,,当时,,∴,∴,,∴,即.【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题,考查了运用导数证明不等式问题,考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中,合理设出函数,通过比较最值证明.18、(Ⅰ)(t为参数);(Ⅱ)或或.【解析】
试题分析:本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,用,化简表达式,得到曲线的极坐标方程,由已知点和倾斜角得到直线的参数方程;第二问,直线方程与曲线方程联立,消参,解出的值.试题解析:(1)即,.(2),符合题意考点:本题主要考查:1.极坐标方程,参数方程与直角方程的相互转化;2.直线与抛物线的位置关系.19、(1)(2)当时,;当时,.【解析】
(1)利用数列与的关系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比数列的前项和公式求出.【详解】(1)当时,,当时,,因为适合上式,所以.(2)由(1)得,,设等比数列的公比为,则,解得,当时,,当时,.【点睛】本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识,考查运算求解能力..20、(1);(2)分布列见详解,期望为;(3)余下所有零件不用检验,理由见详解.【解析】
(1)计算的频率,并且与进行比较,判断中位数落在的区间,然后根据频率的计算方法,可得结果.(2)计算位于之外的零件中随机抽取个的总数,写出所有可能取值,并计算相对应的概率,列出分布列,计算期望,可得结果.(3)计算整箱的费用,根据余下零件个数服从二项分布,可得余下零件个数的期望值,然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值,进行比较,可得结果.【详解】(1)尺寸在的频率:尺寸在的频率:且所以可知尺寸的中位数落在假设尺寸中位数为所以所以这个零件尺寸的中位数(2)尺寸在的个数为尺寸在的个数为的所有可能取值为1,2,3,4则,,所以的分布列为(3)二等品的概率为如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为(元)余下二等品的个数期望值为如果不对余下的零件进行检验,整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为(元)所以,所以可以不对余下的零件进行检验.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,掌握中位数,平均数,众数的计算方法,中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5,考验分析能力以及数据处理,属中档题.21、(1)见证明;(2)【解析】
(1)先证明等腰梯形中,然后证明,即可得到丄平面,从而可证明平面丄平面;(2)由,可得到,列出式子可求出,然后建立如图的空间坐标系,求出平面的法向量为,平面的法向量为,由可得到答案.【详解】(1)证明:在等腰梯形,,易得在中,,则有,故,又平面,平面,,即平面,故平面丄平面.(2)在梯形中,设,,,,而,即,.以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图的空间坐标系,则
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