天津市红桥区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

高一数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共10题，每小题3分，共30分.一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上．1.不等式的解集是（）A. B.或x>2C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【详解】∵不等式可化为，解得，∴不等式的解集是.故选：C.2.设全集＝{－1，0，2，3}，集合＝{－1，3}，＝{0}，则（）A. B.{0}C.{0，2} D.{－1，0，3}【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出补集，再求出并集即可.【详解】因为＝{－1，0，2，3}，S＝{－1，3}，所以，而＝{0}，所以.故选：C.3.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合包含关系判断即可.【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误；但，故CD错误.故选：B4.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结论.【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“，”的否定为“，”.故选：D.5.“”是“”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件的概念，判断“”与“”是否相互推出即可.【详解】由，得，因为，所以由“”可以推出“”，但由“”不能推出“”，即“”是“”的充分不必要条件.故选：C.6.实数满足：，则下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，可判断ABD的真假，对C，可以举反例说明其错误.【详解】对A：因为，，所以，故A成立；对B：因为，，所以，故B成立；对C：令，，，，则满足，但，，所以不成立，即C不成立；对D：因为，，所以，故D成立.故选：C7.已知集合，，若，则实数a的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可得集合，且，分和两种情况，结合包含关系分析求解.【详解】由题意可知：集合，，由，可知，若，则，解得；若，则，解得；综上所述：实数a的取值范围.故选：A.8.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断.【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D；又时，，排除选项C，故选项A正确.故选：A9.下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除AC，再结合单调性在BD中进行选择.【详解】因为函数为非奇非偶函数，为奇函数，故AC不满足题意；因为为常数函数，在0,+∞不是增函数，故B不满足题意；设，则，则fx为偶函数，当x>0时，，则fx在0,+∞上为增函数，故D满足题意故选：D10.甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多C.甲比乙先到达终点 D.甲、乙两人的速度相同【答案】C【解析】【分析】结合图像逐项求解即可.【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，故C正确，D错误.故选：C.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡上．11.设集合，，则______【答案】【解析】【分析】根据并集的概念求解.【详解】因，，故.故答案为：12.已知集合，，则______．【答案】或【解析】【分析】按交集、补集的定义求解即可.【详解】解：因为，所以或.故答案为：或13.函数的定义域为______．【答案】或【解析】【分析】解不等式，可得函数的定义域.【详解】由或.所以函数的定义域为：或.故答案为：或.14.若是偶函数，则________.【答案】【解析】【分析】根据f(x)为偶函数求得，进而求得.【详解】由于f(x)为偶函数，所以恒成立，即，整理得恒成立，所以，即，所以.故答案为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查求函数值，属于基础题.15.已知，，且，则的最小值______.【答案】5【解析】【分析】利用基本不等式“1”妙用即可得解.【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时取“”.故答案为：5.16.已知函数，则的单调递增区间为__________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数的单调性求解即可．【详解】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：17.建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑，沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效，通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果，为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为米，容积为立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，沼气池盖子的造价为2000元，沼气池最低总造价是______元．【答案】【解析】【分析】设长方体底面长方形较长边为，利用表示沼气池总造价，利用基本不等式求其最小值即可.【详解】因为长方体的体积为立方米，深为米，所以长方体的底面面积为，设长方体底面长方形较长边为，，则底面长方形的较短的边长为，所以长方体的池壁的面积为，设沼气池的总造价为，则，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以当底面为边长为的正方形时，沼气池总造价最低，其值为.故答案为：.18.下列命题中正确的是______．（填写序号）①“”是“”的充分不必要条件②若函数在上单调递增，则的取值范围是③已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的解析式为④已知，且，则有最小值【答案】①④【解析】【分析】对于①，根据充分不必要条件的定义即可判断；对于②，根据函数的单调性，求出的取值范围，即可判断；对于③，根据奇函数的性质，求出函数的解析式，即可判断；对于④，利用基本不等式，求出的范围，即可判断.详解】解：对于①，由可以推出，但由推不出，如，满足，但，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于②，因为在上单调递增，所以，解得或，故错误；对于③，因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以当时，，所以，即，所以，所以，故错误；对于④，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立；令，则有，解得，即，所以，当且仅当时，等号成立，故正确.故答案为：①④【点睛】关键点睛：在利用基本不等式时，注意三条件：一正二定三相等，缺一不可.三、解答题：本大题共5小题，共46分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案直接答在答题卡上．19.求下列不等式的解集.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可.【小问1详解】原不等式，解之得，即不等式的解集为；【小问2详解】原不等式，显然不等式无解，即不等式的解集为；【小问3详解】原不等式，显然不等式在时恒成立，即不等式的解集为.20.已知函数，且．（1）写出函数解析式；（2）求的值；（3）若，求实数的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据已知的函数值求待定系数的值.（2）根据函数解析式求函数值.（3）分情况讨论求实数的值.【小问1详解】由于，故，解得，所以.【小问2详解】，.【小问3详解】当时，，解得，舍去.当时，，解得或.其中不符合题意，舍去.综上：21.设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可；（2）分类讨论结合集合的关系计算即可.【小问1详解】，由题意可知，解得；【小问2详解】当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，故，成立等价于，即，若命题真假，结合（1）可知且，故，若命题真假，结合（1）可知且，故，综上，.22.某公司生产一类电子芯片，该芯片的年产量不低于10万件又不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）（2）如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？最大年利润是多少？【答案】（1），（2）20，最大年利润10万元【解析】【分析】（1）结合所给的年利润的计算方法可得函数解析式.（2）利用基本（均值）不等式，求和的最小值.【小问1详解】，.【小问2详解】因为，所以当且仅当，即时，等号成立故答：为使公司获得的年利润最大，每年应生产20万件该芯片，最大年利润是10万元．23.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若关于的方程有4个不相等的实数根，求实数的取值范围；（只需写出结论）（4）求函数y=fx在时的值域．【答案】（1）图象见解析，（2）（3）（4）答案见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，可得函数的完整图象，再根据函数图象写出函数的单调增区间.（2）根据偶函数的性质，求函数解析式.（3）结合图象，可得方程有4个不相等的实数根时，实数的取值范围.（4）分类讨论，弄清函数在上的单调性，求函数值域.【小问1详解】函数的图象如图：单调递增