寒假作业14 相似三角形的基本模型（14道经典题型+5道中考真题）

完成时间：________月________日天气：寒假作业14相似三角形的基本模型积累运用相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型．本课时就相似三角形的基本模型：（双）A字模型、（双）8（X）字模型、母子模型（共边共角模型）、“手拉手”模型（旋转模型）、一线三等角（K字）模型、半角模型、对角互补模型等进行专项训练，方便同学们熟练掌握．基础过关练1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：12.如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（

）A． B． C． D．3．如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______．4．如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．5．在中，是斜边上的高．(1)证明：；(2)若，求的长．6．如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．7．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．8．(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．求的值．9．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．能力提升练10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是____________．11．(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．12．【问题呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：；【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．拓展培优练13．请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．如图1，直线交线段于点，交线段于点，交的延长线于点，可截得六条线段，，，，，，则这六条线段满足．下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有（依据），…(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；(4)在图1中，若，，则的值为________．14．请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于点D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．中考真题练15．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（

）A． B．7 C． D．816．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线，的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则____________．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为______________．18．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．19．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．

寒假作业14相似三角形的基本模型参考答案基础过关练1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【解析】如图，由题意可知，，，∴，而，∴四边形DCBM为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故选D．2.如图，相交于点，且，点在同一条直线上．已知，则之间满足的数量关系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，即，故选C．3．如图，在中，，垂足为，，，四边形和四边形均为正方形，且点、、、、、都在的边上，那么与四边形的面积比为______．【答案】1∶3【解析】∵四边形和四边形均为正方形，∴设四边形和四边形的边长为x，则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，∵EMBC，∴AEM∽ABC，∴，∴，解得x＝2.5，∴AP＝2.5，EM＝5，∴，又∵＝25，∴＝，∴∶＝1∶3，故答案为：1∶3．4．如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．【解析】（1）在与中，，，∴.（2）∵，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，解得，∴，．5．在中，是斜边上的高．(1)证明：；(2)若，求的长．【解析】（1）∵是斜边上的高，∴，，∴，∴.又∵，∴.（2）∵，∴，又，∴．6．如图，，点是线段上的一点，且．已知．(1)证明：．(2)求线段的长．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∵，∴，解得．7．如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．【解析】（1）由题知和均为等腰三角形，且，，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴.（2）如图，取的中点H，连接，∵点是的中点，∴是的中位线，∴，，设，则，∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得（负值已舍），经检验是所列方程的解，且符合题意，∴．8．(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．求的值．【解析】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE.(2).理由如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，.(3)∵，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，．9．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合）且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．(1)求证：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．【解析】(1)∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∵∠DAE=45°，∴，∴，∴∠DAC=∠EAB，∵PC∥AB，∴∠ACD=∠BAC=∠B=45°，∴△ADC∽△AEB，∴，又∵∠DAE=∠BAC=45°，∴△ADE∽△ACB．(2)∵∠ACD=45°，∠ACB=90°，∴∠CDE+∠CED=180°-90°-45°=45°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=22.5°，∵△ADE∽△ACB，∴∠ADE=∠ACB=90°，∴∠CAD=180°-∠ADE-∠CDE-∠ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°，∴∠CAD=∠CDE，又∵∠OCD=∠DCA，∴△OCD∽△DCA，∴，∴CD2=CO•CA．能力提升练10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是____________．【答案】【解析】如图，取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，∵点M，点N是AD，BC的中点，∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABNM是正方形，∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，∴ABG≌AMH（SAS），∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，∵∠EAF＝45°，∴∠MAH+∠BAE＝45°，∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE，∴AEG≌AEH（SAS），∴EH＝EG，∴EH＝BE+BG=BE+MH=2+MH，在RtHEN中，EH2＝NH2+NE2，∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，∴MH＝．∵MN∥CD，∴AHM∽AFD，∴，∴DF＝×＝，故答案为：．11．(1)如图1，在中，D，E，F分别为上的点，交于点G，求证：．(2)如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值．(3)如图3，在中，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长．【解析】(1)∵，∴，∴，∴．∵，∴．(2)由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．(3)如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．12．【问题呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）；【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：；【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______．【解析】（1）结论成立.理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：成立．（2）如图2，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵∠ACB=∠ADB，∴.（3）线段的长为．理由：如图3，在上取一点，使，过作于，∵四边形为菱形，且，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴2AN=AD，2AN=，∴，∵，∴，∴，∵菱形的边长为，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴线段的长为．故答案为．拓展培优练13．请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯是公元1世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交（交点不能是三角形的顶点），可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积．该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．如图1，直线交线段于点，交线段于点，交的延长线于点，可截得六条线段，，，，，，则这六条线段满足．下面是该定理的一部分证明过程：证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有（依据），…(1)上述过程中的依据指的是________；(2)请将该定理的证明过程补充完整．(3)在图1中，若点是的中点，，则的值为________；(4)在图1中，若，，则的值为________．【解析】（1）上述过程中的依据指的是：平行线分线段成比例.（2）该定理的证明过程补充完整如下：，，，，即．（3）点是的中点，，，，,即，，，．故答案为3.（4）如图，过点作交的延长线于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案为．14．请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于点D，E，F，则．数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），，，点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积．【解析】（1）在中，∵点D，E分别为边BC，AC的中点，∴，．由赛瓦定理可得：，∴，∴，即点F为AB的中点；（2）∵为等边三角形，，∴．∵点D是BC边的中点，∴，∵，∴．由赛瓦定理可得：；如图，过点F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴．中考真题练15．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【解析】是的中位线，，，，，，∴．故选C．16．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线，的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正确；设，∴,∴，∴，故②正确；当点在的延长线上时，如图所示．

∵，，∴，∴．∵，．∴，，∴，∴，故③正确；④如图所示，以为圆心，长为半径画圆，∵，∴当在的下方且与相切时，的值最小，，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，故④正确，故选D．17．（2023·海南·中考真题）如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则____________．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为______________．【答案】；【解析】如图，过作交的延长线于点，则四边形为矩形，，∴由题意可得：，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．过作交于点，交于点，如图，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故点的运动轨迹是一条平行于的线段，当点与点重合时，，当点与点重合时，，，∴，∵，∴，∴，即，解得，∵，分别为，的中点，