寒假作业02 二次函数的图象与性质（18道经典题型+5道中考真题）

完成时间：月日天气：寒假作业02二次函数的图象与性质积累运用1.二次函数的图象与性质一般式顶点式交点式函数表达式形状及开口开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；开口大小：越大，开口越小；二次函数的图形为抛物线形状.对称轴直线直线x=h直线顶点坐标（h，k）增减性及最值当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大，函数有最小值.当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，函数有最大值.2.二次函数与一元二次方程的联系①二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.②ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标.③与x轴的交点：令y=0，得到方程.b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．④与y轴的交点：令x=0，得到y=c，故坐标为.基础过关练1．下列关于二次函数的说法，正确的是（）A．对称轴是直线 B．当时有最小值C．顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减少2．在平面直角坐标系中，抛物线经变换得到抛物线，则这个变换是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位3．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（

）x…012…y…0343…A． B． C． D．4．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．5．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是A．且 B． C． D．6．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞17．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流水平距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌，则下列说法正确的是（）A．水流运行轨迹满足函数B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌8．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点A，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是_______________．9．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点，甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：__________________．10．某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润（元）与销售单价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？能力提升练11．已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或12．若，（）是关于的一元二次方程的两个根，，（）是关于的方程的两根，则，，，的大小关系是（）A． B． C． D．13．已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，将此二次函数图象在x轴下方的部分沿着x轴翻折，原图象保持不变，得到一个新的图象．当直线与此图象有且只有四个公共点时，则n的取值范围为_____________．14．已知，两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．15．某校上学高峰期，九年级学生到达学校的累积人数随时间的变化情况如表所示.10分钟之后九年级学生全部到校．九年级到达学校的累积人数与时间的关系式为．时间（分钟）024681010~15人数（人）0180320420480500500试回答下列问题：（1）该校九年级学生按要求有序匀速通过校门口的红外线测温仪进行体温检测，如果学生一到达学校就开始接受体温测量，体温检测仪每分钟可检测20人，问：学校门口等待接受体温测量的学生最多时有多少人？（2）按照“分批次、错峰上学”要求，为不影响七八年级学生进校时间，学校要求在12分钟内完成九年级学生的体温检测，现决定增设人工测温岗，每个岗位的工作人员每分钟检测10人，请问至少需要增设几个人工测温岗？拓展培优练16．对某条路线的长度进行次测量，得到，，，，…，这个数据（如表）：数据对应值7.16.67.1设，若当时，有最小值，则的值为（

）A． B． C． D．17．定义平面内任意两点之间的距离，称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距).例如，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，若点A在直线上，点B为抛物线上一点，则曼距的最小值为（

）A． B． C． D．18．已知抛物线.（1）讨论抛物线与x轴的交点个数；（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．中考真题练19．（2023年辽宁大连中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（

）A． B． C．0 D．220．（2023年浙江杭州中考真题）设二次函数是实数，则（

）A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为21．（2023年成都中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（

）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．A，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大22．（2023年四川广元中考真题）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．（2023年浙江衢州中考真题）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航、途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．（1）求出启航阶段关于的函数表达式（写出自变量的取值范围）；（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当时，求出此时龙舟划行的总路程；②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，视为达标，请说明该龙舟队能否达标；（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）

寒假作业02二次函数的图象与性质参考答案基础过关练1．下列关于二次函数的说法，正确的是（）A．对称轴是直线 B．当时有最小值C．顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而减少【答案】B【解析】由二次函数可知对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；由二次函数可知开口向上，当时有最小值，故选项B正确，符合题意；由二次函数可知顶点坐标为（3，-5），故选项C错误，不符合题意；由二次函数可知当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意.故选B．2．在平面直角坐标系中，抛物线经变换得到抛物线，则这个变换是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位【答案】B【解析】变换前抛物线为：，顶点坐标为：，变换后抛物线为：，顶点坐标为：，显然，由平移至是向右平移2个单位，故选B．3．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（

）x…012…y…0343…A． B． C． D．【答案】D【解析】由表格可知，二次函数的图象关于直线对称，它的图象与x轴的一个交点坐标为，∴它的图象与x轴的另一个交点坐标为，故选D．4．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x>1时，y随x的增大而增大，∵关于直线x=1的对称点是，又2<3<6，∴．故选A．5．若函数的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是A．且 B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的图象与坐标轴有三个交点，∴，且，解得b<1且b≠0.故选A.6．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【答案】C【解析】∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∵抛物线开口向下，∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．故选C．7．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流水平距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌，则下列说法正确的是（）A．水流运行轨迹满足函数B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌【答案】C【解析】A、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y=a（x-20）2+11，

把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，解得，∴解析式为，故A不符合题意；B、当y=0时，，解得x=，∴水流喷射的最远水平距离是（）米，故B不符合题意；C、设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，则，由对称轴为x=18，可知，故C符合题意；D、向后移动7米后的解析式为，当x=30时，y=3.775，3.775-3=0.775<2.3，∴不可以避开对这棵石榴树的喷灌.故选C.8．如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象在第一象限交于点A，与轴正半轴交于点，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】解方程，得，当时，，∴点A的坐标为(，4)，若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，此时x的取值范围是：0＜x＜4．故答案为0＜x＜4．9．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点，甲：对称轴是直线；乙：顶点到轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：_________．【答案】（答案不唯一）【解析】∵对称轴是直线，∴顶点坐标的横坐标为3，∵顶点到轴的距离为2，∴顶点坐标的纵坐标为2或-2，∴抛物线的顶点坐标为（3，2）或（3，－2），∴抛物线的解析式可设为或，其中可取任意不为0的数，这里令，则抛物线的解析式为或，故答案为（答案不唯一）.10．某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价为14元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润（元）与销售单价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）设与之间的函数关系式为，把代入，得，解得，∴与之间的函数关系式为，∵销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，∴.（2）根据题意可得，∵，∴当时，w随x的增大而增大，∵，∴当时，w取最大值，此时，∴每件销售单价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是360元．能力提升练11．已知函数，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或【答案】D【解析】∵，∴其图象的对称轴为x＝a，开口向下，当a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小，∴当x＝0时有最大值，最大值为，解得a＝﹣6＜0，符合题意；当即0≤a≤2时，y的最大值为，∴a＝3，或a＝﹣2，都不符合题意，舍去；当即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大，∴当x＝1时，取得最大值为，∴，综上可知，a的值为或．故选D．12．若，（）是关于的一元二次方程的两个根，，（）是关于的方程的两根，则，，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，画出函数y＝（x−a）（x−b）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b），即，（）是关于的一元二次方程的两个根，方程1−（x−a）（x−b）＝0转化为（x−a）（x−b）＝1，方程的两根是抛物线y＝（x−a）（x−b）与直线y＝1的两个交点的横坐标．由m＜n，可知对称轴左侧交点的横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，得在对称轴左侧，y随x的增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选A．13．已知二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，将此二次函数图象在x轴下方的部分沿着x轴翻折，原图象保持不变，得到一个新的图象．当直线与此图象有且只有四个公共点时，则n的取值范围为________．【答案】【解析】当y=0时，y=x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，x=-1或3，∴A（-1，0），B（3，0），y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴顶点（1，-4），根据题意得，翻折后的顶点坐标为（1,4），如图所示，由图象可知，当直线与此图象有且只有四个公共点时，n的取值范围为．故答案为．14．已知，两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围为___________．【答案】或【解析】∵点是该抛物线的顶点，且，∴该函数有最小值，则函数图象开口向上，∴，∵，∴，∴，∴，∴.当时，点B，C重合，则，不符合题意；∴的取值范围为：或．故答案为或．15．某校上学高峰期，九年级学生到达学校的累积人数随时间的变化情况如表所示.10分钟之后九年级学生全部到校．九年级到达学校的累积人数与时间的关系式为．时间（分钟）024681010~15人数（人）0180320420480500500试回答下列问题：（1）该校九年级学生按要求有序匀速通过校门口的红外线测温仪进行体温检测，如果学生一到达学校就开始接受体温测量，体温检测仪每分钟可检测20人，问：学校门口等待接受体温测量的学生最多时有多少人？（2）按照“分批次、错峰上学”要求，为不影响七八年级学生进校时间，学校要求在12分钟内完成九年级学生的体温检测，现决定增设人工测温岗，每个岗位的工作人员每分钟检测10人，请问至少需要增设几个人工测温岗？【解析】（1）若学校门口等待接受体温测量的学生人数为w，则，当时，取得最大值，故学校门口等待接受体温测量的学生最多时有320人.（2）设增设a个人工测温岗，体温检测仪每分钟可检测20人，12分钟可测12×20=240（人），一个人工测温岗每分钟检测10人，12分钟可测10×12=120（人），由题意可知：，解得，即至少需要增设3个人工测温岗．拓展培优练16．对某条路线的长度进行次测量，得到，，，，…，这个数据（如表）：数据对应值7.16.67.1设，若当时，有最小值，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，当时，有最小值，即，故选．17．定义平面内任意两点之间的距离，称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距).例如，在平面直角坐标系中，点与点之间的曼距，若点A在直线上，点B为抛物线上一点，则曼距的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意设，，∴，当A，B两点的横坐标相等时，取得最小值，∴，∴曼距的最小值为.故选C．18．已知抛物线.（1）讨论抛物线与x轴的交点个数；（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．【解析】（1），①当抛物线和x轴没有交点时，，即4a2﹣8＜0，解得；②当抛物线和x轴有一个交点时，，即4a2﹣8＝0，解得；③当抛物线和x轴有两个交点时，，即4a2﹣8＞0，解得或.综上，当抛物线和x轴没有交点时，，当抛物线和x轴有一个交点时，，当抛物线和x轴有两个交点时或.（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，①当﹣2≤m≤2时，抛物线在x＝m时取得最大值，此时，抛物线在x＝﹣2时，取得最小值，此时，则，解得m＝﹣6（舍去）或m＝2；②当2＜m≤6时，，，则﹣2﹣(﹣10)＝4m，解得m＝2（舍去）；③当m＞6时，，，则，解得（舍去）或，综上，实数m的值为2或．中考真题练19．（2023年辽宁大连中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】D【解析】∵，∴对称轴为，当时，函数的最小值为，当时，，当时，，∴当时，函数的最大值为2，故选D.20．（2023年浙江杭州中考真题）设二次函数是实数，则（

）A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为【答案】A【解析】令，则，解得，，∴抛物线的对称轴为直线，当时，抛物线的对称轴为直线，把代入，得，∵，∴当，时，y有最小值，最小值为，故A正确，B错误；当时，抛物线的对称轴为直线，把代入，得，∵，∴当，时，y有最小值，最小值为，故C、D错误，故选A．21．（2023年成都中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（

）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．A，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大