专项05 圆中辅助线的作法

专项05圆中辅助线的作法类型一遇弦添加弦心距或半径1.(2023山东聊城中考)如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连结OB，IA.若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为()A.15° B.17.5° C.20° D.25°2.(2023四川乐山中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的☉O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点.当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是()A.8 B.6 C.4 D.33.(2023四川广安中考)如图，△ABC内接于☉O，圆的半径为7，∠BAC=60°，则弦BC的长度为.

类型二遇直径构造直径所对的圆周角4.(2022江苏苏州中考)如图，AB是☉O的直径，弦CD交AB于点E，连结AC，AD.若∠BAC=28°，则∠D=°.

5.(2022内蒙古呼和浩特中考)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连结BE.(1)求证：BD=CD；(2)若tanC=12，BD=4，6.(2023吉林长春宽城模拟)如图，AB是☉O的直径，D，E为☉O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使得CD=BD，连结AC交☉O于点F，连结AE，DE，DF.(1)求证：∠CFD=∠C；(2)若∠E=50°，求∠BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF=6，cosB=23，∠BDE=45°，类型三遇切线连结圆心和切点7.(2023湖北武汉中考)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD长为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若ABCD=13A.23 B.53 C.348.(2023浙江嘉兴中考)如图，点A是☉O外一点，AB，AC分别与☉O相切于点B，C，点D在BDC上.已知∠A=50°，则∠D的度数是.

9.(2023江苏无锡中考)如图，AB是☉O的直径，CD与AB相交于点E.过点D的切线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF=CD.(1)求∠F的度数；(2)若DE·DC=8，求☉O的半径.

专项05圆中辅助线的作法答案全解全析1.C如图，连结OC，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI=35°，∴∠BAC=2∠CAI=70°，∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴∠BOC=2∠BAC=140°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12×(180°-∠BOC)=12.D如图，作OQ⊥AB于点Q，连结OP、OD、OC，∵CD=2，OC=OD=1，∴OC2+OD2=CD2，∴△OCD为等腰直角三角形，由y=-x-2得点A(-2，0)、B(0，-2)，∴OA=OB=2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=22，OQ=2，由题意得当P、O、Q共线，且点O在线段PQ上时，S△ABP最大，∵P为CD中点，∴OP=22，∴PQ=OP+OQ=322，∴S△ABP方法解读在几何问题中，最常见的便是关于一些面积、长度和体积方面的最值问题，通常涉及三角形、四边形和圆等，对于圆，需要用到与圆有关的特征和公式，如半径、直径、周长和面积等.3.73解析作OD⊥BC于点D，连结OB，OC，如图所示，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，∵OD⊥BC，OB=OC，∴∠BOD=60°，BD=CD，∴BD=BO·sin∠BOD=7×sin60°=7×32=732，4.62解析(解法一)如图，连结BC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-∠CAB=62°，∴∠D=∠ABC=62°.(解法二)如图，连结OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=28°，∴∠AOC=180°-28°-28°=124°，∴∠D=12∠AOC=15.解析(1)证明：如图，连结AD，∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=CD.(2)∵BD=DC=4，∴BC=DB+DC=8，在Rt△ADC中，tanC=ADDC=12，∴AD=CD·tanC=4×12=2，∴AC=AD2+CD2=22+42=25，∵AB是☉O的直径，∴∠AEB=90°，∵∠AEB=∠ADC=90°，∠C=∠C，∴△CEB∽△CDA，∴CECD=CBCA，6.解析(1)证明：如图，连结AD，∵AB是☉O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=∠AED，∴∠AED=∠C，∵四边形AEDF是☉O的内接四边形，∠AFD+∠AED=180°，∵∠AFD+∠CFD=180°，∴∠CFD=∠AED，∴∠CFD=∠C.(2)∵∠C=∠CFD=∠AED=50°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=100°.(3)如图，连结OE，∵∠CFD=∠AED=∠C，∴FD=CD=BD=6，在Rt△ABD中，cosB=23，BD=6，∴AB=9，∴AO=BO=92，∵∠BDE=45°，∴∠BOE=∠AOE=90°，∵AO=OE=92，∴AE=922，∵∠AOE=90°，∴∠ADE=∠GAE=45°，∴△AEG∽△DEA，∴AEEG=DE7.B如图，连结DB、DE，设AB=m，∵ABCD=13，∴CD=3AB=3m，∵AD是☉D的半径，AD⊥AB，∴AB是☉D的切线，∵☉D与BC相切于点E，∴BC⊥DE，EB=AB=m，∠CBD=∠ABD，∵AB∥CD，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD=3m，∴CE=CB-EB=3m-m=2m，∵∠CED=90°，∴DE=CD2-CE2=∴sinC=DECD=5m3m8.65°解析如图，连结OC，OB，∵AB，AC分别与☉O相切于点B，C，∴∠ACO=∠ABO=90°，∵∠A=50°，∴∠COB=360°-∠A-∠ACO-∠ABO=130°，∴∠D=129.解析(1)如图，连结OD，∵FD为☉O的切线，∴∠ODF=90°，∵DF∥AB，∴∠AOD=180°-∠ODF=90°，∴∠ACD=12∠AOD=45°，∵CF=CD，∴∠F=∠CDF=180°−45°(2)∵