24.6 正多边形与圆 同步练习

第24章圆24.6正多边形与圆基础过关全练知识点1正多边形的概念1.下列说法正确的有()①各边相等的多边形是正多边形； ②各角相等的多边形是正多边形；③圆内接菱形是正多边形； ④圆内接矩形是正多边形.A.1个 B.2个 C.3个 D.0个2.如图所示的图案是由正六边形和正三角形拼接而成的，则该图案是边形，它正多边形(填“是”或“不是”).

3.求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形.知识点2正多边形的画法4.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分，如图，只需在☉O上任取点A，从点A开始，以☉O的半径为半径，在☉O上依次截取点B，C，D，E，F.从而点A，B，C，D，E，F把☉O六等分.下列可以只用圆规等分的是()①二等分；②三等分；③四等分；④五等分.A.② B.①② C.①②③ D.①②③④5.用尺规作正六边形时，先画出一个半径为R的圆，再以圆上任意一点为圆心，以为半径画弧，再以该弧与圆的交点为圆心，以为半径画弧，依次画弧，直到画出六个等分点，将各等分点顺次连接可得正六边形.

6.在一个半径为2cm的圆内作出它的内接正六边形及内接正十二边形.7.在学习“正多边形与圆”时，马露、高静两名同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：(1)如图，作☉O的直径AD；(2)作半径OD的垂直平分线，交☉O于B，C两点；(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求作的三角形.请你判断两名同学的画法是否正确，如果正确，请你按照两名同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由.知识点3正多边形的性质8.一个正多边形绕它的中心旋转36°后，与原正多边形第一次重合，那么关于这个正多边形，下列说法正确的是()A.原正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形B.原正多边形是中心对称图形，但不是轴对称图形C.原正多边形既是中心对称图形，又是轴对称图形D.原正多边形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形9.若一个四边形既有外接圆，又有内切圆，且这两个圆是同心圆，则这个四边形一定是()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形知识点4正多边形的计算10.如图，正方形ABCD内接于圆O，点P在AD上，则∠BPC=()A.35° B.40° C.45° D.50°11.(2022江西景德镇三模)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的周长.如图，正十二边形的边长是4，则可求出此十二边形的周长，用该周长近似代替其外接圆周长便可估计π的值，下面π的值正确的是()A.π=6sin15° B.π=12sin15° C.π=6sin15° D.12.某油缸的底面为如图所示的正六边形，若要剪一张圆形的纸板完全盖住油缸的上口，已知正六边形的边长为2cm，则这个圆形纸板的最小半径是cm.

13.如图，A，B，C是☉O上的三点，若AC，AB，BC分别是☉O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n=.

14.如图，已知☉O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2，求该圆的内接正三角形ACE的面积.15.如图①②③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是☉O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在☉O上逆时针运动，AM与BN交于点P.(1)求图①中∠APN的度数；(2)写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系(直接写出答案).能力提升全练16.(2022山东青岛中考)如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，点M在AB上，则∠CME的度数为()A.30° B.36° C.45° D.60°17.(2022辽宁沈阳模拟)如图，正五边形ABCDE和等边△AFG内接于☉O，则∠FGC的度数是()A.10° B.12° C.15° D.20°18.(2022黑龙江绥化中考)如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度.

19.(2021内蒙古赤峰中考)如图，在拧开一个边长为a的正六边形螺帽时，扳手的开口宽度b=20mm，则边长a=mm.

20.(2022浙江金华中考)如图①，正五边形ABCDE内接于☉O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法：如图②，1.作直径AF.2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与☉O交于点M，N.3.连接AM，MN，NA.(1)求∠ABC的度数；(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由；(3)从点A开始，以DN长为半径，在☉O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值.素养探究全练21.下图是小明同学用一张正三角形纸片折叠成六边形的步骤：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：(1)如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=(用含a的式子表示)；

(2)根据折叠的性质可以知道△CDE的形状为；

(3)请同学们利用(1)(2)的结论，证明六边形KHGFED是一个正六边形.22.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是不是正多边形”时，进行了如下讨论：甲同学：“这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形.”乙同学：“我发现圆内接多边形的边数是6时，它也不一定是正多边形，如图①，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形.”丙同学：“我能证明边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形.”(1)请你证明乙同学构造的六边形各内角相等；(2)请你证明各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图②)是正七边形；(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明).

第24章圆24.6正多边形与圆答案全解全析基础过关全练1.A根据正多边形的定义，可知①②错误，圆内接菱形的两条对角线互相垂直平分且相等，可知为正方形，所以③正确.易知④错误.2.六；是解析该图案共有6条边，所以是六边形，并且各边相等、各角相等，是正多边形.3.解析已知：如图，多边形ABCDE…是☉O的内接多边形，AB=BC=CD=DE=….求证：多边形ABCDE…是正多边形.证明：∵AB=BC=CD=DE=…，∴AB=BC=CD=DE=….∴点A，B，C，D，E，…将☉On等分.∴多边形ABCDE…是正多边形.4.C只用圆规可以将圆两等分(A、D二等分☉O)，三等分(A、C、E三等分☉O)，四等分(分别以A、D为圆心，AC长为半径作圆交于点G，以A为圆心，OG长为半径作圆，交☉O于H、I，则A、H、D、I四等分☉O)，五等分需要直尺和圆规，故选C.5.R；R解析正六边形的半径等于其外接圆的半径，因此应以R为半径画弧.6.解析如图所示，以点O为圆心，2cm长为半径作圆，在☉O上任找一点A，以点A为圆心，2cm长为半径作弧，交☉O于点B，然后在☉O上依次截取等弧(都等于弧AB)，将圆六等分，顺次连接这6个等分点，得到圆的内接正六边形；作线段AB的垂直平分线交☉O于点C，在☉O上依次截取相等的弧(等于AC)，顺次连接各等分点得到圆的内接正十二边形.7.解析本题结合尺规作图考查几何证明，并且形式上还有所改变，增加了辨别改错的模式.两名同学的画法正确.△ABC如图所示.证明：如图，连接BO，CO.设OD交BC于点E，∵BC垂直平分OD，∴OE=12OD=12在Rt△OEB中，cos∠BOE=OEOB=12，∴∠BOE∵OB=OC，OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE=60°.∵AD为☉O的直径，∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，∴AB=BC=CA，即△ABC为等边三角形.8.C因为原图形是正多边形，所以一定是轴对称图形.要判断它是不是中心对称图形，只需要看其绕旋转中心旋转180°后是否与本身重合，已知原正多边形绕它的中心旋转36°后与本身第一次重合，又因为180°=36°×5，所以该正多边形绕它的中心旋转180°后必与本身重合，所以是中心对称图形，故选C.9.D任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，所以这个四边形是正四边形，即正方形.10.C连接OB、OC，∵四边形ABCD是正方形，且内接于☉O，∴∠BOC=90°，∴∠BPC=12∠BOC=45°，故选C11.D如图，设正十二边形的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，作OM⊥AB，由正十二边形的性质可知，∠AOB=360°12=30°，则∠AOM=12∠AOB=15在Rt△AOM中，AM=OA·sin15°，∴AB=2AM=2sin15°·OA，∴正十二边形的周长为2sin15°·OA×12，∴π=2sin15°·OA×122OA=12sin1512.2解析因为正六边形的边长是2cm，所以该正六边形的外接圆的半径是2cm，因而这个圆形纸板的最小半径是2cm.13.12解析连接OA，OB，OC.∵AC、AB分别是☉O内接正三角形、正方形的一边，∴∠AOC=120°，∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，由题意，得30°=360°n，∴n=1214.解析如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM=60°，∴OC=OMsin60°=4∵∠OCN=30°，∴ON=12OC=233，∴CE=2CN=4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积=3×12×4×23315.解析(1)因为AC=BC，所以AC=BC，由题意可得BM=CN，所以AN=CM，所以∠ABN=∠MAC.因为∠APN=∠ABN+∠BAP，所以∠APN=∠BAP+∠MAC=∠BAC=60°.(2)按(1)的思路可得题图②中，∠APN的度数为90°；题图③中，∠APN的度数为108°.(3)∠APN的度数=(n能力提升全练16.D如图，连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD=∠DOE=60°，∴∠COE=2∠COD=120°，∴∠CME=12∠COE=60°故选D.17.B如图，连接CE，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED=∠CDE=(5−2)×180°5=108°，DE=CD，∴∠DCE=∠DEC=12×(180°-∠CDE)=36°，∴∠AEC=∠AED-∠DEC=108°∴∠AGC=∠AEC=72°，∵△AFG是等边三角形，∴∠AGF=60°，∴∠FGC=∠AGC-∠AGF=72°-60°=12°，故选B.18.12解析如图，连接OA，则∠AOB=360°÷6=60°，∠AOH=360°÷5=72°，∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°.19.20解析如图，设正六边形的中心为O，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H，则∠COD=360°6=60°，∴∠COH=12∠COD=30∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∵OH⊥CD，∴CH=DH=12CD=a2(mm)，OH=b∴CH=10×tan30°=1033∴a=2CH=203320.解析(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC=(5−2)×180°(2)△AMN是正三角形，理由：如图，连接ON，NF，由题意，得FN=ON=OF，∴△FON是等边三角形，∴∠NFA=60°，∴∠NMA=60°，同理，得∠ANM=60°，∴△AMN是正三角形.(3)如图，连接OD.∵∠AMN=60°，∴∠AON=120°，∵∠AOD=360°5×2=144°∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°，∵360°÷24°=15，∴n的值是15.素养探究全练21.解析(1)由折叠可知，点O是三角形ABC的重心，∴CO=33(2)△CDE为等边三角形.(3)由(2)知△CDE为等边三角形，∴CD=CE=DE=12CO÷cos30°=13∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=13a，BG=BF=GF=13a，∠CKH=∠BHK=120°，∠AGF=∠CFG∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=13a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠AGF=∠CFG=120°∴六边形KHGFED是一个正六边形.22.解析(1)证明：由题图①知∠AFC所对的弧是ABC，∵CF=DA，∴DE