专项27-成比例线段-重难点题型

成比例线段-重难点题型【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（浉河区校级一模）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为．【变式1-1】（岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20【变式1-2】若a：b＝c：d，则下列各式成立的是（）A．a：d＝c：b B．b：d＝c：a C．a+bb=c−dd D．ab【变式1-3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【题型2成比例线段概念的应用】【例2】（江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为km．【变式2-1】（高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足abA．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形【变式2-2】（渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【变式2-3】阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现（分比性质）：若已知①ac=b问题解决：（1）仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；（2）证明（1）中的分比性质等式成立【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的性质（比值问题）】【例3】（炎陵县期末）已知2b3a−b=34【变式3-1】（平果市期末）如果ab=23【变式3-2】（雅安期末）若a2=b3【变式3-3】（梁溪区期末）若ab=cd=ef=23【题型4比例的性质（三角形问题）】【例4】（兰州期末）已知△ABC和△DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=2【变式4-1】（沭阳县期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，a4=b【变式4-2】（永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b【变式4-3】已知a、b、c是△ABC的三边长，且a5（1）2a+b3c（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．【题型5比例的性质（阅读理解类）】【例5】（鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【变式5-1】（椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+c【变式5-2】解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+c【变式5-3】我们知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型6黄金分割】【例6】（闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式6-1】（龙口市模拟）黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5−12．若EM＝4，则AB＝【变式6-2】（市北区期末）如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点（且AP1＜BP1，即P1B2=AP1⋅AB），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜PA．(3−52)C．(12)【变式6-3】（平顶山期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于5−12，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△A．（5−12）2018 B．（5−12）2019 C．（3+52）

成比例线段-重难点题型（解析版）【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（浉河区校级一模）已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为3．【解题思路】由四条线段a，2，6，a+1成比例，根据成比例线段的定义解答即可．【解答过程】解：∵四条线段a，2，6，a+1成比例，∴a2=6故答案为：3．【变式1-1】（岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20【解题思路】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答过程】解：A、∵1×30≠2×20，∴四条线段不成比例；B、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；C、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例；D、∵5×20＝10×10，∴四条线段成比例；故选：D．【变式1-2】若a：b＝c：d，则下列各式成立的是（）A．a：d＝c：b B．b：d＝c：a C．a+bb=c−dd D．ab【解题思路】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答过程】解：A、∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，故本选项错误；B、∵a：b＝c：d，∴bc＝ad，∴b：d＝a：c，故本选项错误；C、∵a+bb=ab+D、令ab=cd=k故选：D．【变式1-3】已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【解题思路】（1）利用a：b：c＝3：2：6，可设a＝3k，b＝2k，c＝6k，则3k+2×2k+6k＝26，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝4×6，然后根据算术平方根的定义求解．【解答过程】解：（1）∵a：b：c＝3：2：6，∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，又∵a+2b+c＝26，∴3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，∴a＝6，b＝4，c＝12；（2）∵x是a、b的比例中项，∴x2＝ab，∴x2＝4×6，∴x＝26或x＝﹣26（舍去），即x的值为26．【题型2成比例线段概念的应用】【例2】（江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为1.5km．【解题思路】设A、B两地的实际距离为x厘米，根据比例尺的定义得到5x=1【解答过程】解：设A、B两地的实际距离为x厘米，根据题意得5x解得x＝150000，150000cm＝1.5km．故答案为1.5．【变式2-1】（高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足abA．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形【解题思路】根据比例线段和三角形的三边关系解答即可．【解答过程】解：∵三条线段a、b、c的长满足ab设a＝（5+1）k，b＝2k则c＝（5−1）k∵5+1=∴不能围成三角形，故选：D．【变式2-2】（渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1∴a+bb根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【解题思路】（1）把要求的式子化成a+bb（2）根据比例的性质得出a−bb=c−d【解答过程】解：（1）∵ab∴a+bb=ab+（2）∵ab∴ab−1∴a−bb∵a+bb∴a−bb∴a−ba+b【变式2-3】阅读理解，并解决问题：小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式ab=cd成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现（分比性质）：若已知①ac=b问题解决：（1）仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式；（2）证明（1）中的分比性质等式成立【解题思路】（1）利用分比性质解决问题即可．（2）设ac=bd=k，则a＝kc．b＝kd，可得a−c【解答过程】解：（1）①若ac=bd，则a−cc=b−d（2）①若ac=b理由：设ac=则a＝kc．b＝kd，∴a−cc=kc−cc=∴a−cc同法可证结论②成立．【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的性质（比值问题）】【例3】（炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则a【解题思路】根据2b3a−b=3【解答过程】解：∵2b3a−b∴3a−b2b∴3a2b∴ab故答案为：119【变式3-1】（平果市期末）如果ab=23，那么b−a【解题思路】利用比例的性质由ab=23得到a2=b3，则可设a＝2t，b＝3t，然后把a＝2【解答过程】解：∵ab∴a2设a＝2t，b＝3t，∴b−aa+b故答案为15【变式3-2】（雅安期末）若a2=b3=c【解题思路】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果．【解答过程】解：设a2=则a＝2k，b＝3k，c＝4k，所以a+bc故答案是：54【变式3-3】（梁溪区期末）若ab=cd=ef=23（b【解题思路】根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式计算即可．【解答过程】解：∵ab∴a=23b，c=23d，∴a+c+e=2=2故答案为：23【题型4比例的性质（三角形问题）】【例4】（兰州期末）已知△ABC和△DEF中，有ABDE=BCEF=CAFD=2【解题思路】设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米．构建方程组即可解决问题．【解答过程】解：设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米．∵ABDE∴AB+BC+CADE+EF+FD由题意可得：y﹣x＝15②由①式得x=23将③式代入②式得：y−23∴y＝45，将y＝45代入③式得：x＝30，答：△ABC和△DEF的周长分别是30厘米和45厘米．【变式4-1】（沭阳县期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，a4=b【解题思路】根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据解方程，可得答案．【解答过程】解：设a4=得a＝4x，b＝5x，c＝7x．∵a+b+c＝48，∴4x+5x+7x＝48，解得x＝3，∴a＝4x＝12，b＝5x＝15，c＝7x＝21．【变式4-2】（永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a【解题思路】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．【解答过程】解：设a+43=可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．【变式4-3】已知a、b、c是△ABC的三边长，且a5（1）2a+b3c（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．【解题思路】（1）直接设a＝5x，b＝4x，c＝6x，进而代入求出答案；（2）直接设a＝5x，b＝4x，c＝6x，进而代入求出答案．【解答过程】解：（1）∵a5∴设a＝5x，b＝4x，c＝6x，则2a+b3c（2）∵△ABC的周长为90，∴5x+4x+6x＝90，解得：x＝6，则a＝5x＝30，b＝4x＝24，c＝6x＝36．【题型5比例的性质（阅读理解类）】【例5】（鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+yz（x【解题思路】设y+zx=z+xy=x+yz=【解答过程】解：设y+zx=则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，解得，x＝y＝z，则x−y−zx+y+z【变式5-1】（椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b=yb−c=zc−a（a、b、c解：设xa−b=yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc=a−b+c【解题思路】设a+b−cc=a−b+cb=−a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+【解答过程】解：设a+b−cc=所以a+b﹣c＝kc①，a﹣b+c＝kb②，﹣a+b+c＝ka③，由①+②+③，得a+b+c＝k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k＝1．∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．∴(a+b)(b+c)(c+a)abc【变式5-2】解答下列各题：（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+c【解题思路】（1）先展开，再合并同类项，根据因式分解法解方程即可求解．；（2）根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：a+b+c≠0；a+b+c＝0进行讨论．本题还可以设参数法解答．【解答过程】解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，x2+5x+6＝2x+16，x2+3x﹣10＝0，（x﹣2）（x+5）＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5；（2）若a+b+c≠0，由等比定理有a+b−cc所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，于是有(a+b)(b+c)(c+a)abc若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，于是有(a+b)(b+c)(c+a)abc【变式5-3】我们知道：若ab=cd，且b+（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb=a+b【解题思路】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵ab=cd，∴a+c＝0；（2）①当a+b+c≠0时，b+ca∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+ca∴t2﹣t﹣2＝0．【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型6黄金分割】【例6】（闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【解题思路】她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到6292+x【解答过程】解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，∴她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得6292+x解得x≈8.3（cm）．经检验x＝8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故选：C．【变式6-1】（龙口市模拟）黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5−12．若EM＝4，则AB＝25+【解题思路】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出△EDN为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出DE，即可得出结果．【解答过程】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝DE，正五边形内角和（5﹣2）×180°＝540°，∴∠EDC＝∠AED＝∠BCD＝1