新高考数学二轮复习 易错点15 直线和圆（解析版）

易错点15直线和圆易错点1：直线的方程若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。易错点2：圆的方程  (1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；   (2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.  易错点3：直线与圆相离直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.易错点4：直线与圆相切直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得. 易错点5：直线与圆相交直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理. 题组一：直线的方程1.【2016·上海文科】已知平行直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的距离_______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】利用两平行线间距离公式得SKIPIF1<02.【2014四川】设SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0和过定点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】易知直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且两条直线相互垂直，故点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上运动，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选B．【叮嘱】对于直线过定点，有以下常用结论：若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数），则直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数），则直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数），则直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数），则直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数），则直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0；若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为常数），则直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0。3.【2012浙江】设SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0平行”的充要条件是SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以是充分不必要条件。故选：SKIPIF1<0.题组二：圆的方程4.【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点SKIPIF1<0，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A.【解析】设圆心SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时取得等号，故选：A.5．【2018·天津文】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】设圆的方程为SKIPIF1<0，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则圆的方程为SKIPIF1<0．6．【2015北京文】圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为SKIPIF1<0，则圆的标准方程为SKIPIF1<0．题组三：直线与圆相交7.【2021北京卷9】曲线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变化时，直线SKIPIF1<0截曲线SKIPIF1<0的最小弦长为2，则SKIPIF1<0的值为 A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由圆的性质知，当SKIPIF1<0时，圆心到直线的距离最大，弦长最小，故此时有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．【2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）】已知圆SKIPIF1<0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】圆SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，所以圆心SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，当过点SKIPIF1<0的直线和直线SKIPIF1<0垂直时，圆心到过点SKIPIF1<0的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时SKIPIF1<0根据弦长公式得最小值为SKIPIF1<0.故选：B.9.【2015全国1卷文】已知过点SKIPIF1<0且斜率为k的直线l与圆C：SKIPIF1<0交于M，N两点.（=1\*ROMANI）求k的取值范围；（=2\*ROMANII）SKIPIF1<0，其中O为坐标原点，求SKIPIF1<0.【答案】（=1\*ROMANI）SKIPIF1<0（=2\*ROMANII）2【解析】(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为l与C交于两点，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3)，所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).（=2\*ROMANII）设SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,由题设可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以l的方程为SKIPIF1<0.故圆心在直线l上，所以SKIPIF1<0.题组四：直线与圆相切10．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）】已知⊙M：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作⊙M的切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最小时，直线SKIPIF1<0的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】圆的方程可化为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与圆相离．依圆的知识可知，四点SKIPIF1<0四点共圆，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小．∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0．所以以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两圆的方程相减可得：SKIPIF1<0，即为直线SKIPIF1<0的方程．故选：D.11．【2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）】若直线l与曲线y=SKIPIF1<0和x2+y2=SKIPIF1<0都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x+SKIPIF1<0 C．y=SKIPIF1<0x+1 D．y=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0【答案】D【解析】设直线SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上的切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的导数为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0，两边平方并整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍），则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.12.【2020•全国2卷】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线SKIPIF1<0的距离为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】由于圆上的点SKIPIF1<0在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为SKIPIF1<0，则圆的半径为SKIPIF1<0，圆的标准方程为SKIPIF1<0.由题意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以圆心的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，圆心到直线的距离均为SKIPIF1<0；圆心到直线的距离均为SKIPIF1<0圆心到直线SKIPIF1<0的距离均为SKIPIF1<0；所以，圆心到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故选：B.题组五：直线与圆相离13.【2020年全国1卷】已知⊙M：SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的动点，过点SKIPIF1<0作⊙M的切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0最小时，直线SKIPIF1<0的方程为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】圆的方程可化为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与圆相离．依圆的知识可知，四点SKIPIF1<0四点共圆，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小．∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得，SKIPIF1<0．所以以SKIPIF1<0为直径的圆的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两圆的方程相减可得：SKIPIF1<0，即为直线SKIPIF1<0的方程．故选：D.14．【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0面积的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0点P在圆SKIPIF1<0上,SKIPIF1<0圆心为（2，0），则圆心到直线距离SKIPIF1<0故点P到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0故答案选A.15．【2016年全国普通高等学校招生统一考试】圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为1，则SKIPIF1<0()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】由SKIPIF1<0配方得SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为1，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选A.1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0【答案】C【解析】AB的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为SKIPIF1<0，圆x2＋y2－6x＝0的圆心为SKIPIF1<0，则两圆圆心所在直线的方程为SKIPIF1<0，即3x－y－9＝0.故选：C.2．已知直线SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0变化时，所有直线都恒过点（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，∴直线过定点SKIPIF1<0，故选：D.3．圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离为A．1B．2C．SKIPIF1<0D．2SKIPIF1<0【答案】C【解析】圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.4．已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以，解得，圆的圆心为，半径为，所以，，，因为，所以圆与圆相交，故选B．5．圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=A．−B．−C．D．2【答案】A【解析】由题意知圆心为SKIPIF1<0，由距离公式有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选A．6．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为SKIPIF1<0，则圆的标准方程为SKIPIF1<0．7．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的值是A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12【答案】D【解析】圆的标准方程为SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．8．已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等边三角形，故SKIPIF1<0的外接圆圆心时SKIPIF1<0的中心，又等边