浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题

浙江强基联盟2024年11月高二联考数学试题浙江强基联盟研究院命制考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若集合，则（）A.B.C.D.2.如果椭圆的方程是，那么它的焦点坐标是（）A.B.C.D.3.已知点，若，则（）A.1B.C.1或D.或54.已知圆和圆，则与的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离5.在正方体中，以下说法正确的是（）A.若为的中点，则平面B.若为的中点，则平面C.若为的中点，则D.若为的中点，则6.已知，则函数的最小值是（）A.B.C.3D.27.在平行六面体中，若直线与的交点为.设，则下列向量中与共线的向量是（）A.B.C.D.8.如果函数那么（）A.2020B.2021C.2023D.2025二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，以下说法正确的是（）A.的实部是3B.C.D.在复平面内对应的点在第一象限10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件“点数为”，其中，则以下说法正确的是（）A.若随机事件“点数不大于3”，则与互斥B.若随机事件“点数为偶数”，则C.若随机事件“点数不大于2”，则与对立D.若随机事件“点数为奇数”，则与相互独立11.棱长为1的正四面体的内切球球心为，点是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）A.记直线与直线的夹角是，则B.记直线与平面的夹角是，则C.记的最小值为，则D.记在上的投影向量为，则三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.点到直线的距离是__________.13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是__________.14.设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于的对称点是，若，则该椭圆的离心率是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（13分）已知圆，点，且直线经过点.（1）若与相切，求的方程；（2）若的倾斜角为，求被圆截得的弦长.16.（15分）在中，内角的对边分别是，记的面积为，已知.（1）若，求外接圆的半径；（2）求的值.17.（15分）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形为等腰梯形，且有分别是的中点，动点在上.（1）证明：平面平面；（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值.18.（17分）在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是.记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点.（1）求曲线的方程；（2）若，直线过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值；（3）过点作直线交曲线于两点，且，证明：为定值.19.（17分）在平面直角坐标系中，我们可以采用公式（其中为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.（1）将点向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；（2）将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程；（3）若点满足，证明：点的轨迹是椭圆.浙江强基联盟2024年11月高二联考数学卷参考答案与评分标准1.D，故选D.2.C由，则它的焦点坐标是，故选C.3.C由两点间的距离公式可得，解得或，选C.4.A由，可得与的圆心距是5，又，所以与外切，故选A.5.A如图所示，，则有平面，故选A.6.B令，则在单调递增，所以的最小值是，故选B.7.C由空间向量的线性运算可得.选项D中，，与共线，故选D.8.B记，根据定义可得，考虑，，所以（2022）=，所以周期为5，取值分别是，故选B.9.ABC，则的实部是3，故A正确；，B正确；正确，在复平面内对应的点的坐标是，在第四象限，故D错误.故选ABC.10.BD“点数为”，“点数为1”，则，则与不互斥，A错误；“点数为，”点数为2“，则，B正确；”点数为“点数为3”，“点数为”，不是全集，故C错误；“点数为”，“点数为3，4”，则.，故D正确.故选BD.11.ACD如图，设内切球的半径为，易得正确；直线与平面的夹角是，则，B错误；令，则是平面内一动点，，即球面上的点到平面上点之间的距离，最小值表示球面上的点到平面的距离，，即，C正确；点在线段上的投影为线段的中心，点在线段上的投影点位于点的左侧或右侧，且的最大值等于，则，D选项正确.故选ACD.12.由点到直线的距离公式.13.，则圆锥的母线长是，由，得圆锥底面半径，则，由圆锥的体积公式可得.14.由，可得.【法一】则由椭圆的定义不妨设，由余弦定理和中线长公式得即得，则，【法二】设，即化简得，即，得.15.解：（1）因为点在圆上，则直线的斜率为，则直线的斜率是，可得直线的方程是，即.（2）由于直线的倾斜角是，则直线的斜率是，可得，则圆心到直线的距离是，则直线被圆截得的弦长是.16.解：（1）由，得，由，可得，的外接圆半径是.（2）.17.解：（1）因为四边形等腰梯形，分别为的中点，所以，又因为，所以，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）当时.假设，所以，得到，所以.如图建立空间直角坐标系，得，.设平面的一个法向量，.则取得.设平面的一个法向量取得.设平面与平面所成角为，则，所以平面与平面所成角的余弦值为.18.解：（1）设点，所以直线的斜率为，同理直线的斜率为，由已知可得，化简得点的轨迹的方程是.（2）计算得，则直线，当直线且与相切，切点为，此时的面积取最大值，设直线，联立方程组得，，解得，直线与之间的距离，所以.（2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线，设，联立方程组得，则所以，因为，则直线，联立方程组得，所以，得，所以，为定值.19.解：（1）由平移可得，所以此即为坐标变换公式.设上任一点，向左平移1个单位，向上平移2个单位.得到的新的椭圆上一点，则所以所以.所以新椭圆的方程为.（2）设将轴逆时针转到的角为点，点绕原点逆时针旋转得到点由三角函数可得当时，此即为坐标变换式.设将上