山东省青岛第二中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

山东省青岛第二中学2024−2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知空间向量，，且，则（

）A． B．16 C．4 D．2．已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（

）A． B． C． D．4．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（

）A．若，是对立事件，则B．若，是互斥事件，，则C．若，且，则，是独立事件D．若，是独立事件，，则5．已知点关于直线对称的点在圆上，则（

）A．4 B．5 C．-4 D．-56．连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（

）A． B． C． D．7．边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．8．已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是B．若样本数据，，，的平均数为2，则数据，，，的平均数为3C．一组数据，，，，，的分位数为6D．某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题.若男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为6.810．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（

）A．B点的坐标为 B．为定值C．最大值为 D．的最大值为11．在棱长为1的正方体中，，，，，，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（

）A．线段的长度为B．的最小值为1C．对任意点，总存在点，使得D．存在点，使得直线与平面所成的角为三、填空题（本大题共4小题）12．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则.13．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为.14．在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为.15．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，O0,0，，，C0,6，光线从边上一点沿与轴正方向成角的方向发射到边上的点，被反射到上的点，再被反射到上的点，最后被反射到轴上的点，若，则的取值范围是.四、解答题（本大题共3小题）16．已知直线，，且满足，垂足为.(1)求的值及点的坐标.(2)设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.17．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）.(1)已知，，（i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；（ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由；(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围.18．如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且.(1)当时，（i）求二面角的正弦值；（ii）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；(2)当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值.

参考答案1．【答案】A【详解】由题可知，解得，所以.故选：A.2．【答案】B【详解】由题意，，，因为过点的直线与线段相交，结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.故选：B.3．【答案】C【详解】因为，，所以，又与垂直，则，解得，所以，即.故选：C.4．【答案】C【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D.【详解】对于A：若，是对立事件，则，故A错误；对于B：若，是互斥事件，且，，则，故B错误；对于C：因为，，则，，又，所以，是独立事件，故C正确；对于D：若，是独立事件，则，是独立事件，由，，所以，故D错误；故选：C5．【答案】B【详解】设，则所以由题可知，故选：B6．【答案】C【详解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，所有的基本事件数为，因此，事件“”的概率为.故选：C.7．【答案】B【详解】取中点，连接，则，，

而，平面，于是平面，，，，，又，，则，解得，，而，则，，所以三棱锥的体积为.故选：B.8．【答案】A【详解】取三棱锥，，且，，，所以，，如图，令，因为，，又，所以，，即，所以⊥，⊥，分别取的中点，则，，，所以，所以当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值，最大值为.故选：A9．【答案】ABD【详解】对于A，这11个数据的平均数是，A正确；对于B，数据，，…，的平均数为，B正确；对于C，给定数据由小到大排列为2，3，4，5，6，8，而，则这组数据的60%分位数为5，C错误；对于D，30名男生抽人，20名女生抽4人，这10人答对题目的平均数为，所以这10人答对题目的方差为，D正确.故选：ABD10．【答案】ABD【详解】因为可以转化为，故直线恒过定点，又因为，即，恒过定点，故A选项正确；由和，满足，所以，可得，所以，故B选项正确；而，当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C错误；因为，设，为锐角,则，，所以，，所以当时，取最大值，故选项D正确.故选：ABD.11．【答案】ABC【详解】因为，，，所以P为侧面（不含边界）内的动点，因为，，所以Q为线段上的动点，建立如上图所示的空间直角坐标系，根据题意，可得：，A1,0,0，，，，，，设点，，由直线与的夹角为，则有：，，故有：，解得：，为线段上的动点，则有：，解得：，对选项A，则有：，故选项A正确；对选项B，过点作平面的垂线，垂足为，因为，则易知：，故的最小值等价于求的最小值，，故有：，则，当且仅当时成立，结合，可得此时，故选项B正确；对选项C，若，则有：，，又，则有：，则有：，又，则有：，故对任意点，总存在点，使得，故选项C正确；对选项D，易知平面的法向量为n=0,1,0，若直线与平面所成的角为，即直线与平面的法向量成，则有：解得：，矛盾，故选项D错误.故选：ABC.12．【答案】1【详解】若不能构成空间的一个基底，则共面，存在，使得，即，解得.故答案为：1.13．【答案】3【详解】由题意知，半径为1的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，而到直线的距离为，所以圆心到直线距离的最大值为.故答案为：3.14．【答案】33/【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系，且设，则，则，因为异面直线与所成角为，所以因为异面直线与所成角为，所以计算可得，设平面法向量为n=x,y,z，则，令，则因为，则点到平面的距离.故答案为：.15．【答案】【详解】由题可知所以有，，，，，，解得，故答案为：16．【答案】(1)；.(2)【详解】（1）解：显然，可得，，由，可得，即，解得，所以直线：，直线：，联立方程组，解得，所以点．（2）解：由直线：，直线：，可得，，所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心1,0，半径，所以的外接圆方程是．17．【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析；(2)【详解】（1）（i）记事件为“至少收到一次0”，则至少收到一次0的概率为．（ii）证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，则，，，，事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立．（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，，，根据题意得，，，，，解得，的取值范围是．18．【答案】(1)（i）；（ii）(2)1【详解】（1）（i）取的中点，连接，因为为等腰直角三角形，且.所以，则，所以，又因为所以，则，，又因为，所以为二面角的平面角，，所以，所以二面角的正弦值为.（ii）过点作轴垂直平面，又因为，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，设直线与平面所成角为，所以直线与平面所成角正弦值为.（2）取的中点，连接，因为为等腰直角三角形，且.所以