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文档简介

二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算机动目录上页下页返回结束本节内容:一、全微分的定义全微分一、全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

内的点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D

内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束反例:函数易知

但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是机动目录上页下页返回结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:

机动目录上页下页返回结束可知当二、全微分在数值计算中的应用

近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算)半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

机动目录上页下页返回结束求此圆柱体例4.计算的近似值.

解:设,则取则机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算机动目录上页下页返回结束课外作业:

P171.1，2（1）（3），4思考与练习函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.1.选择题机动目录上页下页返回结束2.设解:利用轮换对称性,可得机动目录上页下页返回结束(L.P245例2

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