2024-2025学年高中数学第三章指数函数和对数函数1-2指数扩充及其运算性质课时跟踪训练含解析北师大版必修1

PAGE指数扩充及其运算性质[A组学业达标]1．化简eq\r(x＋32)－eq\r(3,x－33)的结果是()A．6 B．2xC．6或－2x D．－2x或6或2解析：原式＝|x＋3|－(x－3)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，x≥－3，,－2x，x＜－3.))答案：C2．下列式子中成立的是()A．aeq\r(－a)＝eq\r(－a3) B．aeq\r(－a)＝－eq\r(a3)C．aeq\r(－a)＝eq\r(a3) D．aeq\r(－a)＝－eq\r(－a3)解析：由aeq\r(－a)知－a≥0，∴a≤0，∴aeq\r(－a)＝－|a|eq\r(－a)＝－eq\r(－a·a2)＝－eq\r(－a3).答案：D3．下列根式和分数指数幂的互化中，正确的是()答案：D4．若a＜eq\f(1,4)，则化简eq\r(4,4a－12)的结果是()A.eq\r(1－4a) B.eq\r(4a－1)C．－eq\r(1－4a) D．－eq\r(4a－1)解析：∵a＜eq\f(1,4)，∴4a－1＜0，∴eq\r(4,4a－12)＝eq\r(1－4a).答案：A答案：A6．若x4＝3，则x＝________.解析：∵x4＝3，∴x＝±eq\r(4,3).答案：±eq\r(4,3)7．若eq\r(4a2－4a＋1)＝1－2a，则a的取值范围是________．解析：eq\r(4a2－4a＋1)＝eq\r(2a－12)＝|2a－1|.∵eq\r(4a2－4a＋1)＝1－2a，∴|2a－1|＝1－2a，∴2a－1≤0，即a≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))8．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝eq\f(1,5)，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝eq\f(1,4)，(2α)β＝2αβ＝.答案：eq\f(1,4)10．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＞y，求的值．解析：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.∵x＞y，∴x－y＝6eq\r(3)，[B组实力提升]11．化简(－x)2eq\r(－\f(1,x))的结果是()A.eq\r(x) B．－xeq\r(－x)C．xeq\r(x) D．xeq\r(－x)解析：由eq\r(－\f(1,x))知x＜0，又当x＜0时，eq\r(x2)＝|x|＝－x，因此(－x)2eq\r(－\f(1,x))＝eq\f(x2·\r(－x),|x|)＝－xeq\r(－x).答案：B12．已知x2＋x－2＝2eq\r(2)，且x＞1，则x2－x－2的值为()A．2或－2B．－2C.eq\r(6) D．2解析：法一：∵x＞1，∴x2＞1，由x－2＋x2＝2eq\r(2)，可得x2＝eq\r(2)＋1，∴x2－x－2＝eq\r(2)＋1－eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)＋1－(eq\r(2)－1)＝2.法二：令x2－x－2＝t，①∵x－2＋x2＝2eq\r(2)，②∴由①2－②2，得t2＝4.∵x＞1，∴x2＞x－2，∴t＞0，于是t＝2，即x2－x－2＝2，故选D.答案：D13．函数f(x)＝eq\r(x－12)＋eq\r(5,x＋15)的值域是________．解析：f(x)＝|x－1|＋x＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x＜1，,2x，x≥1.))当x＜1时，f(x)＝2；当x≥1时，f(x)＝2x是增函数，则f(x)≥f(1)＝2，则f(x)的值域是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14．已知a＝eq\r(3,2)，b＝eq\r(3)，则eq\r(\f(b3,a)\r(\f(a2,b6)))的值为________．解析：eq\r(\f(b3,a)\r(\f(a2,b6)))＝＝eq\r(\f(b3a,ab3))＝1.答案：115．依据已知条件求值：(1)已知x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3)，求eq\f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq\f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))；(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b)).解析：(1)eq\f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq\f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))＝eq\f(\r(x)＋\r(y)2,x－y)－eq\f(\r(x)－\r(y)2,x－y)＝eq\f(4\r(xy),x－y).将x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(2,3)代入上式得：原式＝eq\f(4\r(\f(1,2)×\f(2,3)),\f(1,2)－\f(2,3))＝eq\f(4\r(\f(1,3)),－\f(1,6))＝－24eq\r(\f(1,3))＝－8eq\r(3).(2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6，,ab＝4，))∵a＞b＞0，∴eq\r(a)＞eq\r(b).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))))2＝eq\f(a＋b－2\r(ab),a＋b＋2\r(ab))＝eq\f(6－2\r(4),6＋2\r(4))＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).∴eq\f(\r(a)－\r(b),\r(a)＋\r(b))＝eq\r(\f(1,5))＝eq\f(\r(5),5).16．已知函数f(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，g(x)＝eq\f(2x－2－x,2).(1)计算：[f(1)]2－[g(1)]2；(2)证明：[f(x)]2－[g(x)]2是定值．解析：(1)∵f(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，g(x)＝eq\f(2x－2－x,2)，∴[f(1)]2－[g(1)]2＝[f(1)＋g(1)][f(1)－g(1)]＝2×eq\f(1,2)＝1.(2)证明：[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]