2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1-2空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算课时作业含解析新人教A版选修2-1

PAGE课时作业14空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则eq\o(MG,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up13(→))B．3eq\o(MG,\s\up13(→))C．3eq\o(GM,\s\up13(→))D．2eq\o(MG,\s\up13(→))解析：eq\o(MG,\s\up13(→))－eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(MG,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(MG,\s\up13(→))＋2eq\o(MG,\s\up13(→))＝3eq\o(MG,\s\up13(→)).答案：B2．设有四边形ABCD，O为空间随意一点，且eq\o(AO,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝eq\o(DO,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形解析：∵eq\o(AO,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＝eq\o(DO,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))，∴eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(DC,\s\up13(→)).∴eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(DC,\s\up13(→))且|eq\o(AB,\s\up13(→))|＝|eq\o(DC,\s\up13(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．答案：A3．若空间中随意四点O，A，B，P满意eq\o(OP,\s\up13(→))＝meq\o(OA,\s\up13(→))＋neq\o(OB,\s\up13(→))，其中m＋n＝1，则()A．P∈ABB．P∉ABC．点P可能在直线AB上D．以上都不对解析：因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up13(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up13(→))＋neq\o(OB,\s\up13(→))，即eq\o(OP,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＝n(eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→)))，即eq\o(AP,\s\up13(→))＝neq\o(AB,\s\up13(→))，所以eq\o(AP,\s\up13(→))与eq\o(AB,\s\up13(→))共线．又eq\o(AP,\s\up13(→))，eq\o(AB,\s\up13(→))有公共起点A，所以P，A，B三点在同始终线上，即P∈AB.答案：A4．在下列条件中，使M与A，B，C肯定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up13(→))＝3eq\o(OA,\s\up13(→))－2eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→))B.eq\o(OM,\s\up13(→))＋eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→))＋eq\o(MC,\s\up13(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up13(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up13(→))解析：∵eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(MB,\s\up13(→))＋eq\o(MC,\s\up13(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up13(→))＝－eq\o(MB,\s\up13(→))－eq\o(MC,\s\up13(→))，∴M与A，B，C必共面．答案：C5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up13(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up13(→))，若eq\o(AE,\s\up13(→))＝xeq\o(AA1,\s\up13(→))＋y(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→)))，则()A．x＝1，y＝eq\f(1,2)B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3)D．x＝1，y＝eq\f(1,4)解析：因为eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(A1E,\s\up13(→))＝eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up13(→))＝eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→)))，所以x＝1，y＝eq\f(1,4).答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up13(→))＝a，eq\o(CB,\s\up13(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up13(→))＝c，则A1B＝________.解析：如图，eq\o(A1B,\s\up13(→))＝eq\o(B1B,\s\up13(→))－eq\o(B1A1,\s\up13(→))＝eq\o(B1B,\s\up13(→))－eq\o(BA,\s\up13(→))＝－eq\o(CC1,\s\up13(→))－(eq\o(CA,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→)))＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b7．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，若eq\o(AC′,\s\up13(→))＝xeq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\f(z,3)eq\o(CC′,\s\up13(→))，则x＋y＋z＝________.解析：在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(AC′,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CC′,\s\up13(→))，又eq\o(AC′,\s\up13(→))＝xeq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\f(z,3)eq\o(CC′,\s\up13(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(y,2)＝1，,\f(z,3)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，,z＝3，))∴x＋y＋z＝6.答案：6

8.有下列命题：①若eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(CD,\s\up13(→))，则A，B，C，D四点共线；②若eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(AC,\s\up13(→))，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，则a∥b；④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满意等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把全部真命题的序号都填上)．解析：依据共线向量的定义，若eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(CD,\s\up13(→))，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；因为eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(AC,\s\up13(→))且eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(AC,\s\up13(→))有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e1＋\f(1,10)e2))＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．答案：②③④三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为eq\r(5)的全部向量；(3)试写出eq\o(AA1,\s\up13(→))的相反向量．解析：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量eq\o(AA1,\s\up13(→))，eq\o(A1A,\s\up13(→))，eq\o(BB1,\s\up13(→))，eq\o(B1B,\s\up13(→))，eq\o(DD1,\s\up13(→))，eq\o(D1D,\s\up13(→))，eq\o(CC1,\s\up13(→))，eq\o(C1C,\s\up13(→))共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up13(→))，eq\o(D1A,\s\up13(→))，eq\o(C1B,\s\up13(→))，eq\o(BC1,\s\up13(→))，eq\o(B1C,\s\up13(→))，eq\o(CB1,\s\up13(→))，eq\o(A1D,\s\up13(→))，eq\o(DA1,\s\up13(→)).(3)向量eq\o(AA1,\s\up13(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up13(→))，eq\o(B1B,\s\up13(→))，eq\o(C1C,\s\up13(→))，eq\o(D1D,\s\up13(→))，共4个．10．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up13(→))＝a，eq\o(AB,\s\up13(→))＝b，eq\o(AD,\s\up13(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up13(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up13(→))；(3)eq\o(MP,\s\up13(→)).解析：(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up13(→))＝eq\o(AA1,\s\up13(→))＋eq\o(A1D1,\s\up13(→))＋eq\o(D1P,\s\up13(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up13(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up13(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up13(→))＝eq\o(A1A,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BN,\s\up13(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up13(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up13(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up13(→))＋eq\o(AP,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)a))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.|实力提升|(20分钟，40分)11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，①eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))与eq\o(OB1,\s\up13(→))＋eq\o(OC1,\s\up13(→))是一对相反向量；②eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→))与eq\o(OA1,\s\up13(→))－eq\o(OD1,\s\up13(→))是一对相反向量；③eq\o(OA,\s\up13(→))＋eq\o(OB,\s\up13(→))＋eq\o(OC,\s\up13(→))＋eq\o(OD,\s\up13(→))与eq\o(OA1,\s\up13(→))＋eq\o(OB1,\s\up13(→))＋eq\o(OC1,\s\up13(→))＋eq\o(OD1,\s\up13(→))是一对相反向量；④eq\o(OA1,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))与eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(OC1,\s\up13(→))是一对相反向量．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：C12．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up13(→))＝2eq\o(DB,\s\up13(→))，eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋λeq\o(CB,\s\up13(→))，则λ＝________.解析：eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(DB,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))，又eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋λeq\o(CB,\s\up13(→))，所以λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)13．如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面．M，N分别是AC，BF的中点．试推断eq\o(CE,\s\up13(→))与eq\o(MN,\s\up13(→))是否共线？解析：因为M，N分别是AC，BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，所以eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\o(MA,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))＋eq\o(FN,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AF,\s\up13(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(1,2)AF＋eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→)))．又eq\o(CE,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))＋eq\o(FE,\s\up13(→))＝eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))＋eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AF,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→))，所以eq\o(MN,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up13(→))，所以eq\o(MN,\s\up13(→))∥eq\o(CE,\s\up13(→))，即eq\o(CE,\s\up13(→))与eq\o(MN,\s\up13(→))共线．14．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up13(→))＝xeq\o(AB,\s\up13(→))＋yeq\o(AD,\s\up13(→))＋zeq\o(AA1,\s\up13(→))，求x＋y＋z的值．解析：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1∴eq\o(AA1,\s\up13(→))＝eq\o(BB1,\s\up13(→))＝eq\o(CC1,\s\up13(→))＝eq\o(DD1,\s\up13(→))，∴eq\o(BE,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up13(→))，eq\o(DF,\s\up13(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up13(→))，∴eq\o(AC1,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(AA1,\s