新高考数学二轮复习 专题突破 专题1 第3讲　不等式（含解析）

第3讲不等式[考情分析]1.不等式的性质与解法常与集合、函数相结合，也可渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.2.线性规划主要考查利用代数式的几何意义(如斜率、截距、距离等)求目标函数的最值.3.基本不等式通常与其他知识综合考查求最值、范围等问题.4.此部分内容多以选择题、填空题形式呈现，中等难度．考点一不等式的性质与解法核心提炼判断关于不等式命题真假的常用方法(1)作差法、作商法，作商法要注意除数的正负．(2)利用不等式的性质推理判断．(3)利用函数的单调性．(4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题．例1(1)(2022·黄冈中学模拟)已知a，b，c均为非零实数，且a>b>c，则下列不等式中，一定成立的是________．(填序号)①ac>bc；②ac2>bc2；③(a－b)c<(a－c)c；④ln

eq\f(a－b,a－c)<0.答案②④解析对于①，取特殊值a＝2，b＝1，c＝－1，满足a>b>c，但ac<bc，故①不成立；对于②，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以c2>0，所以ac2>bc2，故②成立；对于③，取特殊值a＝3，b＝2，c＝－1，满足非零实数a>b>c，此时(a－b)c＝(3－2)－1＝1，(a－c)c＝(3＋1)－1＝4－1＝eq\f(1,4)，但(a－b)c>(a－c)c，故③不成立；对于④，因为a，b，c均为非零实数，且a>b>c，所以－b<－c，a－c>0，a－b>0，所以0<a－b<a－c，0<eq\f(a－b,a－c)<1，所以ln

eq\f(a－b,a－c)<ln1，即ln

eq\f(a－b,a－c)<0，故④成立．(2)若关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，则关于x的不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx的解集为________．答案(－∞，0)解析由题意，关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，则－1，2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－1＋2，,\f(c,a)＝－1×2，,a<0，))解得b＝－a，c＝－2a，且a<0，则关于x的不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx可化为eq\f(a,x)－2a>－ax，即eq\f(1,x)－2<－x，即eq\f(x2－2x＋1,x)＝eq\f(x－12,x)<0，解得x<0，所以不等式eq\f(2a＋b,x)＋c>bx的解集为(－∞，0)．易错提醒解不等式问题的易错点(1)对参数讨论时分类不完整，易忽视a＝0的情况．(2)一元二次不等式中，易忽视开口方向，从而错解．(3)分式不等式易忽视分母不为0.跟踪演练1(1)(2022·临川模拟)若实数a，b满足a6<a5b，则下列选项中一定成立的是()A．a<b B．a3<b3C．ea－b>1 D．lneq\f(a,b)<0答案D解析因为a6<a5b，所以a6－a5b＝a5(a－b)<0，显然a≠0，所以a(a－b)<0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a－b<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a－b>0，))即0<a<b或b<a<0.若0<a<b，则a3<b3，ea－b<e0＝1，lneq\f(a,b)<ln1＝0；若b<a<0，则a3>b3，ea－b>e0＝1，lneq\f(a,b)<ln1＝0，则一定成立的是选项D.(2)若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为()A．(6，7] B．[－3，－2)C．[－3，－2)∪(6，7] D．[－3，7]答案C解析不等式x2－(m＋2)x＋2m<0，即(x－2)(x－m)<0，当m>2时，不等式的解集为(2，m)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6<m≤7；当m＝2时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m<2时，不等式的解集为(m，2)，此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m<－2.综上所述，实数m的取值范围为[－3，－2)∪(6，7]．考点二线性规划核心提炼1．截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)(b≠0)，通过求直线的截距eq\f(z,b)的最值间接求出z的最值．2．距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.3．斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a)(x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.例2(1)(2022·全国乙卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x＋2y≤4，,y≥0，))则z＝2x－y的最大值是()A．－2B．4C．8D．12答案C解析方法一由题意作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，转化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，上下平移直线y＝2x－z，可得当直线过点(4，0)时，直线截距最小，z最大，所以zmax＝2×4－0＝8.方法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x＋2y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))此时z＝2×0－2＝－2；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))此时z＝2×2－0＝4；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝4，,y＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝0，))此时z＝2×4－0＝8.综上所述，z＝2x－y的最大值为8.(2)(2022·安徽省十校联盟联考)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,3x－y－3≤0，))则目标函数z＝eq\f(2y＋1,2x－1)的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C．[－1，3]D．[－3，1]答案B解析作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，其中A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝eq\f(2y＋1,2x－1)＝eq\f(y＋\f(1,2),x－\f(1,2))，表示定点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))与可行域内点(x，y)连线的斜率，因为kMA＝eq\f(\f(1,2),1－\f(1,2))＝1，kMB＝eq\f(1＋\f(1,2),－\f(1,2))＝－3，所以z的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．规律方法含参数的线性规划问题，参数位置一般有两种形式：一是目标函数中含有参数，这时可以准确作出可行域，这类问题的一般特征是其最优解是可知的，因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化；二是在约束条件中含参，可行域的边界线中有一条是动态的，所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理，有时还需分类讨论．跟踪演练2(1)(2022·宁波模拟)若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m，))且z＝3x＋y的最大值为8，则实数m的值为()A．0B．1C．2D．3答案C解析画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≤－x＋2m))所表示的可行域(含边界)如图所示，O(0，0)，A(m，m)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m,3)，\f(4m,3)))，由图中直线斜率关系知，当直线y＝－3x＋z向上平移时，依次经过点O，B，A.故经过点A时，z有最大值4m，由4m＝8，得m＝2.(2)(2022·榆林模拟)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋6≥0，,2x－3y－6≤0，,x＋2y＋2≥0，))则目标函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2的最小值为________．答案eq\f(9,5)解析作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＋6≥0，,2x－3y－6≤0，,x＋2y＋2≥0))表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内的点与点(－1，－2)的距离的平方．由图知，eq\r(z)＝eq\r(x＋12＋y＋22)的最小值为点(－1，－2)到直线x＋2y＋2＝0的距离，即eq\f(|－1－4＋2|,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，所以z的最小值为eq\f(9,5).考点三基本不等式核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑出符合基本不等式条件的项，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y＝m＋eq\f(A,gx)＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例3(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则eq\f(x＋1,xy)的最小值为()A．9 B．12C．2eq\r(6)＋5 D.eq\r(6)＋5答案C解析因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以eq\f(x＋1,xy)＝eq\f(x＋2x＋y,xy)＝eq\f(3,y)＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,y)＋\f(1,x)))(2x＋y)＝eq\f(6x,y)＋eq\f(y,x)＋5≥2eq\r(\f(6x,y)·\f(y,x))＋5＝2eq\r(6)＋5，当且仅当eq\f(6x,y)＝eq\f(y,x)，即y＝eq\r(6)x时取等号．(2)(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq\f(AC,AB)取得最小值时，BD＝________.答案eq\r(3)－1解析设BD＝k(k>0)，则CD＝2k.根据题意作出大致图形，如图．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝k2＋2k＋4.在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k×eq\f(1,2)＝4k2－4k＋4，则eq\f(AC2,AB2)＝eq\f(4k2－4k＋4,k2＋2k＋4)＝eq\f(4k2＋2k＋4－12k－12,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k2＋2k＋4)＝4－eq\f(12k＋1,k＋12＋3)＝4－eq\f(12,k＋1＋\f(3,k＋1)).∵k＋1＋eq\f(3,k＋1)≥2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当k＋1＝\f(3,k＋1)，即k＝\r(3)－1时等号成立))，∴eq\f(AC2,AB2)≥4－eq\f(12,2\r(3))＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，∴当eq\f(AC,AB)取得最小值eq\r(3)－1时，BD＝k＝eq\r(3)－1.规律方法利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的条件(1)一正二定三相等，三者缺一不可．(2)若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练3(1)若a，b∈R，ab>0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为()A．6B．4C．2eq\r(2)D．2答案B解析∵ab>0，∴eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(2\r(a4·4b4)＋1,ab)＝eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4.当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4b4，,4ab＝\f(1,ab)，))即a2＝2b2＝eq\f(\r(2),2)时取等号．(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是________．(填序号)①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.答案②③解析由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤eq\f(x2＋y2,2)，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确；x2＋y2－xy＝1可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))2＋eq\f(3,4)y2＝1，设x－eq\f(y,2)＝cosθ，eq\f(\r(3),2)y＝sinθ，所以x＝cosθ＋eq\f(\r(3),3)sinθ，y＝eq\f(2\r(3),3)sinθ，因此x2＋y2＝cos2θ＋eq\f(5,3)sin2θ＋eq\f(2\r(3),3)sinθcosθ＝1＋eq\f(\r(3),3)sin2θ－eq\f(1,3)cos2θ＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)＋eq\f(2,3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))，所以当x＝eq\f(\r(3),3)，y＝－eq\f(\r(3),3)时满足等式，但是x2＋y2≥1不成立，所以④错误．专题强化练一、选择题1．不等式eq\f(4,x－2)≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2，4] B．[0，2)∪[4，＋∞)C．[2，4) D．(－∞，2)∪(4，＋∞)答案B解析当x－2>0，即x>2时，(x－2)2≥4，即x－2≥2，解得x≥4；当x－2<0，即x<2时，(x－2)2≤4，即－2≤x－2<0，解得0≤x<2.综上，不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞)．2．(2022·衡水中学模拟)已知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论一定正确的是()A．a2>b2 B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)<2C．|a|a<|a|b D．lga2<lgab答案D解析由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可得b<a<0，则a＋b<0，a－b>0，ab>0，A中，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)<0，得a2<b2，所以A不正确；B中，由eq\f(b,a)>0，eq\f(a,b)>0，且eq\f(b,a)≠eq\f(a,b)，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，所以B不正确；C中，当|a|＝1时，eq\f(|a|a,|a|b)＝|a|a－b＝1，此时|a|a＝|a|b，所以C不正确；D中，由lga2－lgab＝lg

eq\f(a2,ab)＝lg

eq\f(a,b)，且b<a<0，得0<eq\f(a,b)<1，所以lg

eq\f(a,b)<0，可得lga2<lgab，所以D正确．3．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)C．y＝2x＋22－x D．y＝lnx＋eq\f(4,lnx)答案C解析选项A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意；选项B，因为y＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)≥2eq\r(|sinx|·\f(4,|sinx|))＝4，当且仅当|sinx|＝eq\f(4,|sinx|)，即|sinx|＝2时取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sinx|＝2不可能成立，因此可知y>4，所以选项B不符合题意(或设|sinx|＝t，则t∈(0，1]，根据函数y＝t＋eq\f(4,t)在(0，1]上单调递减可得ymin＝1＋eq\f(4,1)＝5，所以选项B不符合题意)；选项C，因为y＝2x＋22－x≥2eq\r(2x·22－x)＝4，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，即x＝1时取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意；选项D，当0<x<1时，lnx<0，y＝lnx＋eq\f(4,lnx)<0，所以选项D不符合题意．4．(2022·河南省名校联盟联考)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))则z＝eq\f(2y－2,x)取得最大值的最优解为()A．(1，3)B．(1，1)C．4D．0答案A解析由约束条件可得如图中阴影部分(含边界)所示的可行域，又z＝eq\f(2y－2,x)表示可行域中任意一点与A(0，1)所在直线斜率的2倍，由图可知，可行域中只有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x＝1))的交点(1，3)与A(0，1)所在直线的斜率最大，且最大值为eq\f(3－1,1－0)＝2.所以z＝eq\f(2y－2,x)的最大值为4，取得最大值的最优解为(1，3)．5．(2022·宜宾质检)已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为()A．(－∞，2)∪(3，＋∞)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞)D．(1，3)答案C解析令f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立转化为f(a)>0在[－1，1]上恒成立．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1>0，,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－2＋x2－4x＋4>0，,x－2＋x2－4x＋4>0，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))解得x<1或x>3.故x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．6．(2022·开封模拟)已知(2，1)是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积()A．有最小值4 B．有最小值8C．有最大值8 D．有最大值16答案B解析因为(2，1)是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，所以eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，即a2b2＝4b2＋a2，所以a2b2＝4b2＋a2≥2eq\r(4b2·a2)＝4ab，所以ab≥4.连接椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为S＝eq\f(1,2)×2a×2b＝2ab≥2×4＝8.即面积有最小值8.7．已知关于x的不等式mx2－6x＋3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是()A．(－∞，eq\r(3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(12,7)))C．(eq\r(3)，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，＋∞))答案A解析由题意得，mx2－6x＋3m<0，x∈(0，2]，即m<eq\f(6x,x2＋3)，故问题转化为m<eq\f(6x,x2＋3)在(0，2]上有解，设g(x)＝eq\f(6x,x2＋3)，则g(x)＝eq\f(6x,x2＋3)＝eq\f(6,x＋\f(3,x))，x∈(0，2]，因为x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(3)，当且仅当x＝eq\r(3)∈(0，2]时取等号，所以g(x)max＝eq\f(6,2\r(3))＝eq\r(3)，故m<eq\r(3).8．已知x<eq\f(3,2)，f(x)＝x＋eq\f(8,2x－3)，则下列说法正确的是()A．f(x)有最大值－eq\f(1,2) B．f(x)有最大值－eq\f(5,2)C．f(x)有最小值eq\f(11,2) D．f(x)有最小值eq\f(7,2)答案B解析∵x<eq\f(3,2)，∴x－eq\f(3,2)<0，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x－\f(3,2))＝x－eq\f(3,2)＋eq\f(4,x－\f(3,2))＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＋\f(4,\f(3,2)－x)))＋eq\f(3,2)≤－2eq\r(4)＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，当且仅当x＝－eq\f(1,2)时取等号．9．(2022·嘉兴质检)已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤2，,3x－y＋2≥0，))则z＝|x－2y＋6|的最大值是()A．10B．7C．5D．2答案B解析画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤2，,3x－y＋2≥0))所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，设m＝x－2y＋6，则y＝eq\f(1,2)x＋3－eq\f(m,2)，当直线y＝eq\f(1,2)x＋3－eq\f(m,2)经过点A时，目标函数m＝x－2y＋6取得最小值，当直线y＝eq\f(1,2)x＋3－eq\f(m,2)经过点B时，目标函数m＝x－2y＋6取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,3x－y＋2＝0，))解得A(0，2)，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,3x－y＋2＝0，))解得B(－1，－1)，所以目标函数的最小值为2，最大值为7，所以z＝|x－2y＋6|的最大值是7.10．(2022·石家庄模拟)设正实数m，n满足m＋n＝2，则下列说法正确的是()A.eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值为4B．mn的最小值为1C.eq\r(m)＋eq\r(n)的最大值为2D．m2＋n2的最小值为eq\f(5,4)答案C解析∵m>0，n>0，m＋n＝2，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,2)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝2，当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(m,n)，即m＝n＝1时，等号成立，故A不正确；∵m＋n＝2≥2eq\r(mn)，∴mn≤1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B不正确；∵(eq\r(m)＋eq\r(n))2≤2[(eq\r(m))2＋(eq\r(n))2]＝4，∴eq\r(m)＋eq\r(n)≤eq\r(4)＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C正确；m2＋n2≥eq\f(m＋n2,2)＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故D不正确．11．(2022·滁州质检)若实数a，b满足2a＋b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)，b>1))，则eq\f(2a,2a－1)＋eq\f(b,b－1)的最小值为()A．6B．4C．3D．2答案A解析令2a－1＝m，b－1＝n，则m>0，n>0，∴m＋n＝2a＋b－2＝1，∵eq\f(2a,2a－1)＋eq\f(b,b－1)＝eq\f(m＋1,m)＋eq\f(n＋1,n)＝2＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝6，当且仅当m＝n＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(3,4)，b＝eq\f(3,2)时取等号．12．(2022·广东联考)已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，则S＝eq\f(1＋z,2xyz)的最小值为()A．3 B.eq\f(3\r(3)＋1,2)C．4 D．2(eq\r(2)＋1)答案C解析由题意得，0<z<1，0<1－z<1，∴z(1－z)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z＋1－z,2)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当z＝1－z，即z＝\f(1,2)时取等号))，∵x2＋y2＋z2＝1，∴1－z2＝x2＋y2≥2xy(当且仅当x＝y时取等号)，∴eq\f(1－z2,2xy)≥1，即eq\f(1－z1＋z,2xy)≥1，∵1－z>0，∴eq\f(1＋z,2xy)≥eq\f(1,1－z)，∴eq\f(1＋z,2xyz)≥eq\f(1,z1－z)≥4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝y＝\f(\r(6),4)，z＝\f(1,2)时取等号))，则S＝eq\f(1＋z,2xyz)的最小值为4.二、填空题13．(2022·安庆检测)能够说明“设a，b，c是任意实数，若a2＋b2>c2，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．答案－3，－1，1(答案不唯一)解析令a＝－3，b＝－1，c＝1，则a2＋b2＝10>1＝c2，此时a＋b＝－4<1，所以该命题是假命题．14．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则eq\f(c2＋5,a＋b)的取值范围为________.答案[4eq\r(5)，＋∞)解析由不等式的解集知a<0，由根与系数的关系知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝3＋4＝7，,\f(c,a)＝3×4＝12，))∴b＝－7a，c＝12a，则eq\f(c2＋5,a＋b)＝eq\f(144a2＋5,－6a)＝－24a＋eq\f(5,－6a)≥