数学素材：教研中心函数的应用（Ⅱ）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教研中心教学指导一、课标要求1.借助信息技术,利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。2.结合实例体会直线上升,指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.3。恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.4.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）。了解函数模型的广泛应用。二、教学建议教学思路和意图在函数建模的教学过程中，一方面要求学生注意熟悉相关的实际背景，另一方面要注意总结整理常用的函数模型。同时,不能忽视归纳思想的应用,通过从具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法.必要情况下,对学生生疏的实际背景,应当予以补充.在本章的学习中，我们要重点掌握指数函数，对数函数和幂函数这三种不同增长的函数模型,能够利用计算器、计算机等辅助手段,通过列表、画图切身体会不同的增长情况，利用这三种函数模型解决生活中的实际问题。虽然幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型都是增长型的函数模型,但对三者进行细致的研究和分析可以发现这三种函数在增长的速度的快慢方面是有区别的，对这三种函数增长快慢的研究主要还是应该通过函数的图象进行,因此，准确地得到三者的函数图象是理解这一问题的关键,利用计算机进行作图是同学们应当掌握的基本技能.已给出函数模型的实际问题,关键是考虑考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给的模型，列出函数关系式,最后结合实际意义作出解答。要想提高解决实际问题的能力，需要培养从实际问题中抽象出数学本质、建立数学模型的能力，建立数学模型需要“过三关”：(1）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解决问题寻找突破口；（2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；（3）数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.建议教学方法应用题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构。解决应用问题的过程就是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构，并运用自己掌握的数学知识去分析求解的过程,这一过程中需要培养学生的数学建模能力。建立数学模型的方法和步骤：模型准备:了解问题的实际背景，明确其实际意义、建模目的，搜集掌握对象的各种信息,弄清对象的特征，用数学语言来描述问题。模型假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的、合理的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设.模型建立：在假设的基础上，利用对象的内在规律和适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构。（尽量用简单的数学工具）模型求解：利用获取的数据资料，采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，对模型的所有参数作出计算（估计）.模型分析:对模型解答所得结果进行数学上的误差分析，数据稳定性等分析。模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程.模型应用:应用方式因问题的性质和建模的目的而异.资源参考经典考题“血浓于水”多少倍？基于“血浓于水”的观念,人们对有血统关系的亲人（以至推广到其他同胞)，给予更多关爱.那么“血浓于水”的倍数是多少？这里我们可以通过对数(Logarithm)把血比水浓的程度计算出来.液体的酸碱浓度可以用化学上的pH来表示:pH=—lg［H+］.由于纯水中氢离子的浓度［H+］是1×10—7mol/L（浓度单位），所以纯水的pH=—lg[H+]=7。0与纯水相比,愈高的pH会有愈高的碱浓度；愈低的pH则表示愈高的酸浓度。血液的pH约为7.4(若高过7。5或低于7.3，人就会昏迷，甚至有死亡的危险！）.利用这些资料,便可以找到血比水浓的程度.血液的pH—纯水的pH=lg＝7。4-7。0=0。4,=100。4≈2。5,由此可