数学素材：第三讲三平面与圆锥面的截线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考1解：（1)当l与AB（或AB的延长线)、AC都相交时，设l与AB（或AB的延长线)交于E，与AC交于F。因为β是△AEP的外角，所以必然有β＞α；反之，当β＞α时，l与AB（或AB的延长线）、AC都相交．（2）当l与AB不相交时,则l∥AB,这时有β＝α;反之,当β＝α时，l∥AB,那么l与AB不相交．（3）当l与BA的延长线、AC都相交时，设l与BA的延长线交于G，因为α是△APG的外角，所以β＜α；反之，如果β＜α，那么l与BA的延长线、AC都相交．思考2解：如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切．当β＞α时，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1，F2，与圆锥相切于圆S1，S2.在截口的曲线上任取一点P，连接PF1，PF2，过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1。同理,PF2＝PQ2.所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2。由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长度，与点P的位置无关．由此可知截口的曲线是以F1，F2为焦点的椭圆．探究解：如图，上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为圆S，记圆S所在的平面为π′。设π与π′的交线为m.在椭圆上任取一点P，连接PF1。在π中过P作m的垂线,垂足为A。过P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB是PA在平面π′上的射影．容易证明，m⊥AB.故∠PAB是平面π与平面π′交成的二面角的平面角．在Rt△ABP中，∠APB＝β，所以PB＝PAcosβ。（1）设过P的母线与圆S交于点Q1，则在Rt△PQ1B中，∠Q1PB＝α，所以PB＝PQ1cosα＝PF1cosα。(2)由(1）（2)得：eq\f(PF1,PA)＝eq\f（cosβ,cosα）.因为0＜α＜β＜eq\f（π,2),所以cosβ＜cosα.所以eq\f(PF1，PA)＝eq\f(cosβ,cosα)＜1.由上所述可知,椭圆的准线为m,椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数eq\f(cosβ，cosα).习题3.31．解:如图,设平面π与圆锥内切球相切于点F1，球与圆锥面的交线为圆S，过该交线的平面为π′，π与π′相交于直线m。在平面π与圆锥的截线上任取一点P，连接PF1,过点P作PA⊥m,交m于点A,过点P作π′的垂线，垂足为B，连接AB,则AB⊥m，所以∠PAB为π与π′所成的二面角的平面角．连接点P与圆锥的顶点，与圆S相交于点Q1，连接BQ1，则∠BPQ1＝α，∠APB＝β.在Rt△APB中，PB＝PAcosβ.在Rt△PBQ1中,PB＝PQ1cosα.∴eq\f(PQ1,PA)＝eq\f（cosβ,cosα).又∵PF1＝PQ1，α＝β,∴eq\f(PF1,PA）＝1，即PF1＝PA.∴动点P到定点F1的距离等于它到定直线m的距离．故当α＝β时，平面与圆锥的交线为抛物线．2．解:如图，在截口上任取一点P，连接PF2.过P和圆锥顶点O作母线，与下面的Dandelin球相切于Q2,球与圆锥的交线为圆S，记圆S所在的平面为π′.截面π与平面π′相交于直线m。过点P在π中作PA⊥m，交m于点A.过P作平面π′的垂线，垂足为B。连接Q2B，AB，则△PBQ2为直角三角形,且∠Q2PB＝α.△PAB也是直角三角形，且∠APB＝β.在Rt△PBQ2中，PB＝PQ2cosα，在Rt△PAB中，PB＝PAcosβ,∴eq\f(PQ2,PA)＝eq\f(cosβ，cosα)。又∵PF2＝PQ2，∴eq\f(PF2，PA）＝eq\f(cosβ,cosα）＝定值．∵0＜β＜α＜eq\f（π，2