2024学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷附答案解析

学年重庆市八中高二数学上学期期中考试卷2024.11一、单选题（本大题共8小题）1．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．若，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．已知圆经过点和点，且圆心在直线上，则圆的半径为（

）A． B． C． D．4．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（

）A．10 B． C．40 D．445．已知点是的重心，若，则（

）A． B． C． D．6．已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（

）A．若，则与和相交 B．若，则或C．若，则，且 D．若，则7．已知海面上有一监测站，其监测范围为以为圆心，半径为的圆形区域，在A正东方向处有一货船，该船正以的速度向北偏西方向行驶，则货船行驶在监测站监测范围内的总时长为（

）A． B． C． D．8．椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（

）A． B． C． D．2二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆，圆，则（

）A．直线的方程为B．圆经过，两点，则圆的面积的最小值为C．与圆和圆都相切的直线共有四条D．若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为1010．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（

）A．的周长为B．存在点，使得C．若，则的面积为D．使得为等腰三角形的点共有4个11．在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（

）

A．四棱锥体积的最大值为B．存在某一翻折位置，使得C．为的中点，当时，二面角的余弦值为D．为的中点，则的长为定值三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线与圆相切，则实数的值为.13．已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为.14．已知正四面体的棱长为，在棱上，且，则此正四面体的外接球球心到平面的距离为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线的方程为：.(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.16．在锐角中，角所对的边分别为，，，且.(1)求证：；(2)若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围.17．在平面直角坐标系中，已知圆，不与轴垂直的直线过点且与圆相交于，两点.(1)已知，求直线的方程；(2)已知点且的面积为，求直线的方程.18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面.(1)求证：为中点；(2)求平面与平面夹角的正弦值；(3)若点为棱上一动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.19．在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点.(1)当时，求出，两点的坐标；(2)直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.

参考答案1．【答案】A【详解】设倾斜角为，因为直线的方向向量是，则直线的斜率，故倾斜角的正切值为，且，所以的倾斜角为.故选：A.2．【答案】C【详解】因为，所以，所以.故选：C3．【答案】B【详解】因为圆心在直线，设圆心为，因为圆经过点和，可得，解得，故圆心为，则圆的半径为.故选：B.4．【答案】C【详解】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长为4，6，高为，所以侧面梯形的斜高为，所以棱台的侧面积为.故选：C5．【答案】D【详解】如图，由点是的重心，可得

，结合，可得，，所以.故选：D6．【答案】D【详解】对A选项，由，则与和相交或平行或在面内，所以A选项错误；对B选项，当时，且且，所以B选项错误；对C选项，当时，与，可以成任意角，所以C选项错误；对D选项，如图，易得，所以D选项正确；故选：D7．【答案】C【详解】依题意，如图，易知在监测范围内行驶的总距离为，故在监测范围内行驶的总时长为.故选：C8．【答案】A【详解】椭圆的右顶点，上顶点，设，则，由可得，解得，即，又由，则，将代入椭圆方程，得，即，解得或（舍），所以.故选：A.9．【答案】ABD【详解】圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，对于A，直线的方程为，即，所以A正确；对于B，因为，当为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为，所以B正确；对于C，因为，可得，可知圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以C错误；对于D，当，，，共线时，取得最大值，所以D正确.故选：ABD.10．【答案】AB【详解】对于，由题意，，，故周长为，所以A正确；对于B，当点位于上下顶点时，为直角，所以B正确.对于C，当时，如图：设，，则.所以，所以C错误；对于D，若是以为顶点的等腰三角形，点位于上下顶点；若是以为顶点的等腰三角形，则，此时满足条件的点有两个；同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有两个；故使得为等腰三角形的点共六个，所以D错误.故选：AB11．【答案】ACD【详解】对于A，当平面平面时，四棱锥的体积最大，此时四棱锥的高为点到的距离，直角梯形的面积为，四棱锥体积的最大值为，所以A正确；对于B，若，又，则平面，即，矛盾，所以B错误；对于C，取中点，连接，，如图：

由题意，，，所以为二面角的平面角，在中，，，，所以C正确；对于D，取中点，连接，，，则，，且四边形为平行四边形，，，所以，即，，不变，由余弦定理知定值，所以D正确.故选：ACD12．【答案】2【详解】将方程整理，可得，（）则圆心为，半径为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即，由.故答案为：2.13．【答案】【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，，由对称性可知：，，则四边形为平行四边形，则，即，且，因为，则AF2=2在中，由余弦定理可得，即，解得，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.14．【答案】/【详解】在正四面体中，，，，在，中，，取中点，连接，，如图，，，而，，

令正的中心为，连接，，，的延长线交于点，则为中点，有，，，显然平面，正四面体的外接球球心在上，连接，则，而，在中，，解得，且，令点到平面的距离为，由得：，即，解得，因此球的球心到平面的距离有，即.故答案为：15．【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】（1）由，可得，令，所以直线过定点.（2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得，所以面积，当且仅当，即时，面积最小值为4.16．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：由，根据正弦定理可得，即，所以；可得，所以，即，显然，故，，所以.（2）在中，由正弦定理可得，可得，即，所以，因为是锐角三角形，且，所以解得，可得，所以，所以线段长度的取值范围是.17．【答案】(1)(2)【详解】（1）①直线的斜率不存在时，，不满足题意.②直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则圆心到直线的距离，由，可得，解得，故直线.（2）①直线的斜率不存在时，，不满足题意.②直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则，到直线的距离，故，由可得，化简得，即，解得，故直线.18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）连结交于点，连结，因为底面是矩形，所以为中点，因为平面，平面，平面平面，所以，又因为为中点，所以为中点.（2）取的中点，连结，，因为底面为矩形，所以，因为，为中点，所以，，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，所以，所以，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得：，，，P0,0,1，，，则，，，由上可知为平面的一个法向量，设平面的法向量为n=x,y,z，令，则，，所以，所以，，所以平面与平面夹角的正弦值为.（3）由（2），，因为点在棱上（含端点）所以设，则，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.19．【答案】(1)，(2)平行，证明见解析【详解】（1）由椭圆方程可知：，则，，，，直线，即，联立方程，解得，即，直线，故，直线，故.由，化简得，解得或（舍