6.2.2 离散型随机变量的分布列 课件-高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

§2离散型随机变量及其分布列

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,如在掷一枚骰子的古典概型中,关心事件“出现1点”的概率,在描述新生儿性别的概型中,关心事件“新生儿是女孩”的概率,…这些不同概率模型中所提及的事件有什么共同特点?是否可以建立一个统一的概率模型来刻画这些随机事件?情境导入一般地,一个试验如果满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不只一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果;这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,也简称试验.1.“随机试验”的概念

一般地,设A,B是非空的数集,如果使对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作：y=f(x),x∈A随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？2.函数的概念2离散型随机变量及其分布列1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列.课标要求1.通过离散型随机变量及其分布列的概念与性质的学习,培养数学抽象的素养．2.借助分布列的求法,培养数学运算的素养.素养要求求随机事件的概率时,我们往往需要为随机试验建立样本空间,并会涉及样本点和随机事件的表示问题,类似函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便,而且能更好地利用数学工具研究随机试验.探究点1离散型随机变量探究导学

有些随机试验的样本空间与数值有关系,我们可以直接与实数建立关系.任意抛掷一枚均匀的骰子掷出的点数,可能出现的结果共有6个,其样本空间为{掷出点数i,i=1,2,…,6},可简记为{1,2,3,4,5,6}.但是,还有一些试验的样本空间不是用数值而是用属性刻画的.例如,抛掷一枚均匀的硬币观察其结果,其样本空间是{正面,反面},如果引入变量X,对应于试验的两个结果,将出现正面和反面时的X值分别规定为1和0,这样,样本点就和数值对应起来.随着试验结果的确定,X的取值也就确定了.有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如,随机抽取一件产品,有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果它们与数值无关.如果“抽到次品”用1表示,“抽到正品”用0表示,即

在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X,Y,ξ,η等来表示.抽象概括例1:已知在10件产品中有2件不合格品.试验E：从这10件产品中任取3件,观察不合格品的件数.(1)写出该随机现象可能出现的结果；(2)试用随机变量来描述上述结果.例题精讲解:(1)依题意知这10件产品中有2件不合格品,8件合格品.因此,从10件产晶中任取3件,所有可能出现的结果是:“没有不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”.(2)令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数,则X所有可能的取值为0,1,2,对应着任取3件产品所有可能的结果.即{X=0}表示“没有不合格品”；{X=l}表示“恰有1件不合格品”；{X=2}表示“恰有2件不合格品”.例2

连续抛掷一枚均匀的硬币2次,用X表示这2次抛掷中出现正面的次数,则X是

一个随机变量.分别说明下列集合所代表的随机事件：(1){X=0}；(2){X=l}；(3){X≤1}； (4){X>0}.解:(1){X=0}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件,即2次都是出现反面.所以{X=0}表示“2次都是出现反面”.(2){X=1}表示“恰有1次出现正面”.(3){X<1}表示“至多1次出现正面(4){X>0}表示“至少1次岀现正面”.随机变量的特点随机变量的特点可以用数字表示试验之前可以判断其可能出现的所有值在试验之前不可能确定取何值P197练

习1.用随机变量来描述下列随机现象可能的结果:(1)连续抛掷一枚均匀的硬币3次,出现正面的次数;(2)一个口袋中装有除颜色外完全相同的8个红球和3个黄球,任意摸出两球,摸到黄球的个数.2.用X表示10次射击中命中目标的次数,分别说明下列集合所代表的随机事件:(1){X=8};(2){1<X≤9};(3){X>1};(4){X<1}.3.同时抛掷两枚均匀的骰子,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ,则{ξ>4}表示的随机事件是().B.第一枚掷出5点,第二枚掷出1点

A.第一枚掷出6点,第二枚掷出2点D.第一枚掷出6点,第二枚掷出1点

C.第一枚掷出1点,第二枚掷出6点课堂练习探究点2离散型随机变量的分布列

知道了上述两点,抛掷一枚均匀的骰子掷出点数的规律也就弄明白了.我们也常将上式列成表：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.若离散型随机变量X的取值为x1,x2…,xn,…,随机变量X取xi的概率为Pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=Pi(i=1,2,…,n,…)①①式也可以列成表,如表xix1x2…xn…P(X=xi)p1p2…pn…抽象概括随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律:了解了随机变量X的分布列,就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率例3:篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次得分的分布列.解:用随机变量X表示每次罚球所得的分值.根据题意,X的可能取值为1,0,且取这两个值的概率分别为0.7,0.3,因此所求的分布列如表：X10P0.70.3若在某个试验中,每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功〃和“失败,每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验.如果随机变量X的分布列如表：X10Ppq其中0<p<1,q=l-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布).例3中篮球运动员每次罚球所得的分值服从p=0.7的两点分布.两点分布不仅是最简单的,也是最重要的概率分布模型,在实际生活中有着广泛的应用.抽象概括例4:连续抛掷一枚均匀的骰子两次,用X表示掷出的点数之和,试求X的分布列.解:我们用(i,j)表示抛掷的结果,其中i表示第一次掷出的点数,j表示第二次掷出的点数.例如,(3,4)表示第一次掷出的点数为3,第二次掷岀的点数为4.于是,连续抛掷一枚

均匀的骰子两次,共有36种结果,结果如表6-6：例题精讲

例5:一袋中装有6个完全相同的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,用X表示取出球的最大编号,求X的分布列.

1.随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种映射.区别随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射.联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.课堂小结2.离散型随机变量的特征(1)可用数值表示.(2)试验之前可以判断其出现的所有值.(3)在试验之前不能确定取何值.(4)试验结果能一一列出.3.在利用分布列的性质解题时的注意点(1)X=xi的各个取值所表示的事件是互斥的;(2)不仅要注意,而且要注意0≤p<l,i=1,2,…,n4.求离散型随机变量分布列的步骤1).明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；2).利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值的概率；3).按规范形式写出分布列.P201练

习1.①

某座大桥一天经过的车辆数为X;

②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X;

③

一天中某时刻的温度为X;

④

一射手对目标进行射击,命中得1分,未命中得0分,用X表示射手在一次射击中的得分.上述问题中的X是离散型随机变量的是().A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

P201习题6-2A组1.袋中有除颜色外完全相同的红球6个和白球5个,从袋中每次任意不放回地取出一个球,直到取出的球是白球为止.设随机变量X表示所需要的取球次数,则X的可能取值为().A.1,2,…,6B.1,2,…,7C.1,2,…,11D.1,2,3,…2.同时抛掷两枚均匀的骰子,设X表示掷出的点数之和,则{X=4)表示的随机试验结果是().

A.一枚掷出3点,一枚掷出1点

B.两枚都掷出2点C.两枚都掷出4点

D.一枚掷出3点,一枚掷出1点或两枚都掷出2点

X45678910P0.020.040.060.09a0.290.225.从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率;(2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列.6