基本不等式教案及教案说明

课题：基本不等式（第一课时）授课人：李新平教材：人教A版必修五第三章第四节1.教学目标（1）知识目标：了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明及应用，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；（2）能力目标：初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力和逻辑思维能力.帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探究的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯；（3）情感目标：通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，激发学生的学习兴趣和热情，并增强学生的爱国主义热情.2.教学重点及难点重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明；难点：基本不等式的应用，轮换对称不等式的证明.3.教学方法与手段（1）教学方法：独立探究，合作交流与教师引导相结合（2）教学手段：手工制作、多媒体课件4.教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图课前准备1.复习———射影定理中，，则则已知，，则CCBADba2.收集了解《国际数学家大会和菲尔茨奖》和赵爽弦图知识3.动手制作第24届国际数学家大会的会标学生自主完成讲学稿填空和搜集本节课相关资料，并用卡纸制作第24届国际数学家大会的会标复习旧知识，为学习新知做好准备；通过课外知识阅读，引起学生对数学的热爱和学习数学的兴趣；在制作会标过程中让学生直观感受图形构造和图形中的相等关系和不等关系，为本节课导入做好准备．课题导入课题导入【探究】图形中的相等和不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a,b,那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：，即.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有，即.教师收集各小组制作的会标，让制作精美的小组介绍制作经验；（你剪裁了哪些图形构造会标？探讨风车中的相等关系和不等关系.）教师投影会标图形，学生小组讨论，并填写讲学稿通过引导性语言，激发学生的探索精神，利用相关面积存在的数量关系，抽象猜想一系列的相等和不相等关系，同时渗透爱国主义教育，激发学生强烈的民族自豪感．新课学习一、重要不等式1.得到结论：重要不等式：一般的，如果那么有(当且仅当号)2.证明结论证师生对探究进行归纳总结教师提出问题，学生思考并给出证明.从数学的逻辑推理方面给出证明，从代数角度加强学生对重要不等式的感知和理解，并培养学生严谨的数学学习态度并从中初步了解分析法证明的过程.新课学习新课学习二、基本不等式【探究1】通过换元法得到基本不等式因为,特别的，如果,我们用分别代替，可得.通常我们把上式写作：.【探究2】根据不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证（1）只要证（2）要证（2），只要证（3）要证（3），只要证（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.注：证明不等式的基本方法———分析法分析法是从被证不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件具备，那么可以判定原不等式成立.【探究3】理解基本不等式的几何意义在右图中，是圆的直径，点是上的一点，，.过点作垂直于的弦，连接,.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？【剖析公式】(1)在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.(2)如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(3)变形式：①；②.（1）学生黑板板书用换元法得到基本不等式；（2）根据不等式性质推导基本不等式，学生完成填空,教师投影；（3）教师根据证明过程，介绍证明不等式的基本方法———分析法，引导学生归纳分析法证明的步骤.（4）教师引导学生探索图形中各线段之间的关系.学生由射影定理得到.由图形得到小于或等于圆的半径，即当为圆直径也就是时等号成立.由此学生归纳得到基本不等式的几何解释：半弦不大于半径(5)教师剖析公式.（1）由重要不等式通过代换得到基本不等式，利用已有的知识，获取新知识，注意强调的范围；（2）初步了解分析法证明不等式的一般步骤和思路，培养学生严谨的数学态度和分析问题的一般方法．（3）引导学生从不同的角度（数形）理解不等式的实质，培养学生一题多解的意识．（4）深入探究、揭示知识本质，加深学生对重要不等式和基本不等式的认识和理解；培养学生对比的数学思想，多方面思考问题的能力．例题讲解【例1】已知都是正数，（1）求证(2)求证（3）【课堂练习】（1）已知都是正实数，求证（2）下列函数中，最小值为的是.①；②③；④注：都是正数；积（或和）为定值；和必须能相等.【例2】已知，求证：【课堂练习】（3）已知，求证：（1）教师点拨，学生完成.运用定理，加深学生对基本不等式实质：“正”、“定”、“等”的理解.教师引导学生熟悉例2中轮换对称的不等式的结构特征，要求学生掌握此类不等式的证明方法.（2）学生独立完成课堂练习，对学生存在的问题教师板书展示、点评.（1）通过例题熟悉基本不等式，初步学会它的一些应用.强调基本不等式使用的条件和等号成立的条件.（2）让学生熟悉例2中轮换对称不等式的结构特征，掌握此类不等式的证明方法.及时对解题方法和规律进行概括，有利于学生思维能力的提升．（3）练习是例题的变式训练，使学生巩固基本不等式，让学生熟悉公式，并学会应用.课堂小结1.由学生理清本节学到的哪些知识方法？有哪些收获？存在哪些不足？2.强调本节课学习的两个不等式成立的条件不同，及它们等号成立的条件.3.掌握轮换对等的不等式的证明方法，反思利用基本不等式解题.师生总结结论，强化认识．知识的小结，将知识转化为学生的素质，思想方法的小结，逐步培养学生思维方式和个性品质.作业布置自我测试题学生独立完成，教师批阅、点评.在掌握基础知识的基础上，让学生有所提高.为第二课时的学习做好准备.《基本不等式》教案说明新丰一中李新平本节课是高中数学中基本不等式的第一课时，主要揭示相关知识的形成过程.考虑到学生的基础比较差，本课程在设计上，一方面通过数学知识与生活和周围世界密切联系，从数形结合角度，制作了形象生动的课件，化抽象为具体，化难为易，消除学生对数学的畏难情绪；另一方面，采用学生参与程度高的学导式讨论教学法，以老师启发为基础，穿插师生交谈法、问答式、讨论法等方法，引导学生参与讨论，以加深学生对不等式的认识和理解，并尽可能激发学生的学习兴趣和主动性.本节课分6个环节：1．课前准备环节，让学生搜集课外知识并制作第24届国际数学家大会的会标，激发学生学习的兴趣和热情；2．课题导入环节，引导学生通过观察、发现，得出重要不等式并证明结论；3．新课学习环节，注重知识的形成过程，数形结