4.1数列的概念课件（1）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册-2

4.1数列的概念(1)章前导读在生活中,常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如:一棵树在某一时刻的高度是2米,如果在每年同一时刻都记录下这棵树的高度,并按先后顺序排列起来,就得到一列数,通过对这列数分析,可以研究树的生长规律.

事实上,数列古已有之,20世纪50年代在扎伊尔发掘出公元前9000到6500年的骨具被认为是人类原始数学活动的一种证据.如果骨具上每一组刻痕代表一个数字,那么三行刻痕分别代表三个数列:11,21,19,9;11,13,17,19;3,6,48,10,5,5,7.旧石器时代的人刻下这三列数的动机尽管已无从考证,但这告诉我们当人类祖先需要用一组数有序地表达一类事物,记录某个变化过程时,数列也就应运而生了.什么是数列？本章我们将学习数列的概念和表示方法,并研究两类特殊数列—等差数列和等比数列,探索其取值规律,建立通项公式、前n项和公式,并应用其解决一些问题.我们将把数列看成一类特殊函数，并用函数的思想方法研究数列.实例引入实例1:王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量的身高,依次排成一列数:75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168．问题:(1)这列数中的第4位、第8位数的实际意义分别是什么？(2)它们的位置能交换吗？(5)能否用与顺序相关的符号来表示这列数？不能王芳4岁生日那天测得的身高103,8岁生日那天测得的身高128这一列数具有确定顺序(3)其它数据的位置呢？(4)说明什么呢？也不能hi

(i=1,2,···,17)(6)hi中的i反映的是什么？身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置.具有确定顺序的一列数实例引入实例2:在两河流域发掘的一块泥版(编号K90,约产生于公元前7世纪)

上,有一列依次表示15天中从第1天到第15天每天月亮可见部分

的数：问题:(1)这列数中的第10位数表示什么？(2)这列数中的数据能交换位置吗？(4)能否用与顺序相关的符号来表示这列数？不能第10天月亮可见部分的数这一列数具有确定顺序(3)说明什么呢？si

(i=1,2,···,15)(5)si中的i反映的是什么？反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置.具有确定顺序的一列数5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.把满月分成240份,则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示.实例引入实例3:将2的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列

数：问题:你能仿照实例1、2的叙述,说明这也是具有确定顺序的一列数吗？具有确定顺序的一列数2,4,8,16,….实例归纳①75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168．②5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.③2,4,8,16,….由以上三个实例得到了三列数：问题:上述三列数的共同特征是什么？按照确定顺序排列概念生成数列——按照确定的顺序排列的一列数.数列中的每一个数项:首项(第1项):简记为：{an}思考：{an}与an所有什么区别与联系？②

an表示数列{an}中的第

n项.①{an}表示数列

a1，a2，a3，…，an，….排在第一位的数第n项:排在第n位的数数列的一般形式:a1，a2，a3，…，an，….n∈N+项an：a1，a2，a3，a4,…，an，….数列是特殊的函数问题:数列中的各项an与各项序号n之间有什么对应关系？序号n：1,2,3,4,…,n,….数列也是函数定义域是：函数值是：深入探究列表法：图象法：解析法：追问:数列的图象有什么特点？追问:从表和图中,你发现数列

随序号的变化呈现出什么

特点吗？深入探究问题:你还记得函数有哪几种表示法吗？既然数列是特殊的函数，你能用以上方法表示数列吗？an=2n概念生成数列的单调性数列的分类：

递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列.

递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列.

摆动数列:常数列:各项相等的数列.对任意n∈N*，an+1>an(或an+1-an>0)对任意n∈N*，an+1<an(或an+1-an<0)对任意n∈N*，an+1=an(或an+1-an=0)按项的多少有穷数列：个数有限的的数列无穷数列：个数无限的的数列按项与项的大小概念生成数列的通项公式:

如果数列{an}的第

n项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.追问:数列75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,

165,168有通项公式吗？追问:数列通项公式的作用是什么？根据通项公式可以写出数列的任意一项.并不是每个数列都能写出通项公式.问题:你能用一个式子表示数列中各项an与序号n之间的对应关系吗？②2,4,8,16,….①2,4,6,8,10,12,14,16,…．例题精讲例1.根据下列数列的通项公式,写出数列的前5项,并画出它们的图象.例题精讲例2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.思考：你还能写出其他的解析式吗？注:(-1)n+1或常用来表示正负相间的变化规律课堂练习1.写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:(1)所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;(2)当自变量x依次取1,2,3,‧‧‧时,函数f(x)=2x+1的值构成的数列;

(3)数列的通项公式为课堂练习2.根据数列{an}的通项公式填表:n12‧‧‧5‧‧‧‧‧‧‧‧‧nan‧‧‧‧‧‧153‧‧‧273‧‧‧3(3+4n)3.除数函数(divisorfunction)y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数,例如,

d(1)=1,d(4)=3.写出数列d(1),d(2),‧‧‧,d(n),‧‧‧的前10项.4.根据下列数列的前5项,写出数列的一个通项公式:探究:你认为由数列的前几项,该如何求数列的通项公式?巩固提升由数列的前几项求通项公式例2.写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(3)9,99,999,9999.(4)7,77,777,7777.(6)1,31,52,73,...变式探究1:数列{an}的通项公式为an=n2-7n-8.(1)数列中有多少项为负数?(2)数列{an}中是否有最小项?若有,求出最小项;若没有,请说明理由.巩固提升数列的单调性的应用变式探究2:已知数列{an}的通项公式为an=n2+λn,且数列{an}为递增数列,求实数λ的取值范围.巩固提升数列的单调性的应用学海拾贝数列单调性的判断数列是一类特殊的函数,因此研究数列的单调性问题可借助函数的方法,但应注意自变量n为正整数这一限制条件.解决数列的单调性可用以下三种方法.(1)作差法:根据an+1-an与0的大小关系