3.2.1函数的最大(小)值第二课时课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章函数的概念与性质3.2.1第2课时函数的最大(小)值首都师范大学附属昌财实验中学ChangcaiExperimentalHighschoolofCapitalNormalUniversity★情德善孝

志勤专勇★函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0，0)即对于任意的x∈R，都有f(x)≥

f(0)最小值

对任意的都有ƒ(x)0.

一、新课导入思考2：设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？f(x)≤MM=ƒ(0)=1O12

对任意的都有ƒ(x)≤1.最大值函数最大值最小值条件设y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：

∀x∈I，都有f(x)≤M;∃x0∈I，使得f(x0)=M.

∀x∈I，都有f(x)≥M;∃x0∈I，使得f(x0)=M.结论M是y=f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标①最大(小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素.无最小值②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察(复合)).知识点

函数的最大(小)值的定义

函数的最值与其定义域息息相关若y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)的值域是[f(a),f(b)];若y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数y=f(x)的值域是[f(b),f(a)].1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0 B.0,2

C.f(-2),2 D.f(2),2C解析

由图象可知,在[-2,2]上,此函数的最小值是f(-2),最大值是2.探究点一利用函数的图象求函数的最值2.请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性,并求出它们的最值:(1)y=-5x,x∈[2,7]; (2)f(x)=3x2-6x+1,x∈[3,4); (3)f(x)=|x2-2x|,x∈[-1,3].解

(1)一次函数y=-5x的图象是一条直线,在[2,7]上单调递减,当x=2时,y=-5x取得最大值-10,当x=7时,y=-5x取得最小值-35.(2)二次函数f(x)=3x2-6x+1=3(x-1)2-2的图象是抛物线,开口向上,对称轴是直线x=1,在[3,4)上单调递增,当x=3时,f(x)=3x2-6x+1取得最小值f(3)=3×32-6×3+1=10,函数无最大值.画出f(x)在x∈[-1,3]内图象(图略).可知f(x)在[-1,0],[1,2]上单调递减,在(0,1),(2,3]上单调递增,当x=-1或3时,f(x)=|x2-2x|取得最大值3,当x=0或2时,f(x)=|x2-2x|取得最小值0.规律方法图象法求最值的基本步骤

(1)画出f(x)的图象;(2)根据图象写出该函数的最大值和最小值.解

(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究点二利用函数的单调性求最值【例2】

已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.解

(1)∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(2),f(2)=2+2=4;f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.变式探究

例2已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;当2≤x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间[2,3]上单调递增.规律方法1.利用单调性求函数最值的一般步骤:(1)判断函数的单调性;(2)利用单调性写出最值.2.函数的最值与单调性的关系:(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.探究点三与函数最值有关的综合问题角度1.利用函数的最值解决恒成立问题【例3】

已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.解

x2-x+a>0可化为a>-x2+x.设f(x)=-x2+x,要使a>-x2+x对任意x∈(0,+∞)恒成立,只需a>f(x)max,当x∈(0,+∞)时,规律方法对任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为f(x)min>a来解决.对任意x∈D,f(x)<a恒成立,一般转化为f(x)max<a来解决.若f(x)≥a2恒成立,则a的取值范围是

.

1123456789101112131415当且仅当x=1时,等号成立.所以f(x)的最小值为1.当x≤0时,f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立,所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0.(2)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.记y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),因为y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,故当x=1时,y取得最小值,最小值为3+a.所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立,所以实数a的取值范围为(-3,+∞).角度2.与最值有关的实际应用问题【例4】

一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资)(1)求y与x的函数关系式.(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?解

(1)当0<x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;当x>20时,y=260-100-x=160-x.(2)当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16时,y取最大值156.而当x>20时,160-x<140.故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元.规律方法解函数应用题的一般程序(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.本节要点归纳1.知识清单:(1)利用图象法、单调性求函数的最值.(2)与最值有关的恒成立问题.(3)与最值有关的实际应用问题.2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.3.常见误区:在求函数的最值(值域)时,一定注意函数的定义域,有值域不一定存在最值.成果验收·课堂达标检测1.函数y=|x+1|+2的最小值是(

)A.0 B.-1 C.2 D.3C解析

y=|x+1|+2的图象如图所示.由图可知函数的最小值为2.11解析

由题知,f(x)在区间[1,2]上单调递增,其最大值为f(2)=10;f(x)在区间[-4,1)上单调递减,其最大值为f(-4)=11>10.故函数f(x)的最大值为11.3.已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是

.

(-∞,-