1.2向量的基本关系课件-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章平面向量及其应用1.2向量的基本关系

问题引入什么样的两条线段称为相等线段？长度相等的两条线段称为相等线段.什么样的两个向量是相等向量呢？新知初探

若两条有向线段方向相同,长度相等，则它们表示的向量是相等的.

一、相等向量与共线向量如图：1.相等向量:长度相等且方向相同.向量与相等,记作=.代表相等向量的有向线段与起点无关.直观地说，一条有向线段在平移过程中，虽然位置不同,但表示的是相等向量.新知初探2.共线向量:若两个非零向量,的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作∥.3.相反向量:两个向量的长度相等、方向相反.相反向量是共线向量.若其中一个向量为,则它的相反向量记作.一、相等向量与共线向量两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行.4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量,都有∥.零向量的相反向量仍是零向量.新知探究AB二、向量的夹角2.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量,都有⊥.1.定义:已知两个非零向量和,在平面内选一点O，作，θ则(

)称为向量与的夹角.当

时,与同向;当

时,与反向;当

时,与垂直,记作⊥.O.初试身手1.如图所示，四边形RSPQ是菱形，下列向量可以用同一有向线段表示的两个向量的是（）解由图可知是相等向量，满足条件.QRSPB初试身手2.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与相等的向量有

,与共线的向量有

.

在四边形ABCD中,所以与相等的向量是；解DCEAB由图知与共线的向量有.知识点拨1向量共线中的“共线”的含义与平面几何中的“共线”的含义不同,2向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.知识点拨(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只有大小和方向两个要素.(3)向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.(4)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.合作探究类型一：相等向量与共线向量1.如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？方向相同或相反2.表示共线向量的有向线段所在直线有什么位置关系？表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合合作探究类型一：相等向量与共线向量3.如果非零向量与是共线向量，那么A,B,C,D是否一定共线？不一定共线4.与共线的单位向量有几个？当≠时，有两个；当＝时，有无数个例题讲解【例1】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心且＝，＝，＝.[思路探究]由题目可获得以下主要信息：①六边形ABCDEF是正六边形；②＝，＝，＝；③求各相应向量．解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．oEFDCBADCBFADCB(1)与的模相等的向量有多少个？(2)与的长度相等,方向相反的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？例题讲解【例1】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心且＝，＝，＝.(1)与的模相等的向量有多少个？(2)与的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？[解]：(1)与a的模相等的向量有23个．(2)与的长度相等且方向相反的向量有，，，.(3)与共线的向量有，，，，，，，，.EFADCB1．向量共线有三种情形：

①共线且同向;②共线且反向;③有一个是零向量.2．向量的平行与直线平行的关系

两条直线平行时，直线上的有向线段平行,两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行,也可能重合.若直线m,n,l,m∥n,n∥l,则m∥l;若向量a,b,c,a∥b,b∥c,而a,c不一定平行．规律方法例题讲解【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.BECADF情境引入ABCDEFG课堂小结1.共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．2.向量垂直也就是向量夹角为90°，按照规定，零向量既可以和任意向量平