统考版2025届高考数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1节任意角蝗制及任意角的三角函数教师用书教案北师大版

PAGE第四章三角函数、解三角形全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看，一般有两种方式：二个小题或一个小题另加一个解答题，分值为为10分或17分左右．2．考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义，图像与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等学问．(2)解答题涉及学问点较为综合．涉及三角函数图像与性质、三角恒等变换与解三角形学问较为常见.随意角、弧度制及随意角的三角函数[考试要求]1.了解随意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解随意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提示：终边相同的角不肯定相等，但相等的角其终边肯定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2提示：有关角度与弧度的两个留意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采纳的度量制度必需一样，不行混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要留意角的单位必需是弧度．3．随意角的三角函数(1)定义设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．拓展：随意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．eq\a\vs4\al([常用结论])1．象限角2．轴线角一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边肯定不相同．()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα＞1.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材习题衍生1．若θ满意sinθ＜0，cosθ＞0，则θ的终边在()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D[∵sinθ＜0，cosθ＞0，∴θ的终边落在第四象限．]2．下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9,4)π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)C[∵eq\f(9π,4)＝2π＋eq\f(π,4)，∴eq\f(9π,4)与eq\f(π,4)终边相同．又角度制与弧度制不行同时混用，故选C.]3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限．[答案]－eq\f(5π,4)二4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________.eq\f(11,5)[由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)，所以2cosθ－sinθ＝2×eq\f(4,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq\f(11,5).]5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________rad.eq\f(π,3)[弦和两条半径构成等边三角形，因此这条弦所对的圆心角大小为eq\f(π,3)rad.]考点一象限角及终边相同的角1.象限角的两种推断方法2．求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)两边同除以n或乘n；(3)对k进行探讨，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．1．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()ABCDB[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤eq\f(π,4)的终边相同；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋eq\f(5π,4)(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤eq\f(5π,4)的终边相同，故选B.]2．设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角B[∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)的终边落在其次、四象限，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)＜0，∴eq\f(θ,2)是其次象限角．]3．与－2010°终边相同的最小正角是________．150°[与－2010°终边相同的角可表示为α＝－2010°＋k·360°，k∈Z，又当k＝6时，α＝150°，故与－2010°终边相同的最小正角为150°.]4．终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))[终边在直线y＝eq\r(3)x上且在第一象限的角为α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，终边在直线y＝eq\r(3)x上且在第三象限的角为β＝2kπ＋π＋eq\f(π,3)＝(2k＋1)π＋eq\f(π,3)(k∈Z)．则终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).]点评：利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的全部角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．考点二扇形的弧长及面积公式的应用有关弧长及扇形面积问题的留意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要留意角的单位必需是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[典例1]已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解](1)α＝60°＝eq\f(π,3)rad，所以l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋Rα＝10，,\f(1,2)α·R2＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形圆心角为eq\f(1,2)rad.(3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.eq\a\vs4\al([跟进训练])1．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.3 D.eq\r(3)D[如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l＝eq\r(3)r，由弧长公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).]2．已知扇形弧长为20cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.eq\f(360,π)[由弧长公式l＝|α|r，得r＝eq\f(20,\f(100π,180))＝eq\f(36,π)，所以S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×20×eq\f(36,π)＝eq\f(360,π).]考点三三角函数的定义及应用利用三角函数的定义求值三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，依据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(留意a的符号，对a分类探讨)，再利用三角函数的定义求解．[典例2－1](1)已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα＝()A．－eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2) D．±eq\f(3,2)(2)若角α的终边经过点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，则cosθ＝________.(3)若角α的终边在直线y＝－eq\f(4,3)x上，求sinα，cosα和tanα的值．(1)C(2)－eq\f(\r(6),4)[(1)由|OP|2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，则y＝eq\f(\r(3),2)或y＝－eq\f(\r(3),2).当y＝eq\f(\r(3),2)时，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2)；当y＝－eq\f(\r(3),2)时，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).综上所述，选C.(2)r＝eq\r(m2＋3)，由sinθ＝eq\f(m,\r(m2＋3))＝eq\f(\r(2),4)m，整理得m2＝5，则r＝eq\r(m2＋3)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).∴cosθ＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4).](3)[解]由题意知tanα＝－eq\f(4,3)，①当角α终边落在其次象限，设角α终边上一点P(－3,4)，r＝5，∴sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，②当角α终边落在第四象限，设角α终边上一点P(3，－4)，r＝5，sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5).点评：充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键，对于含字母的方程求解要留意字母的范围．三角函数值的符号推断已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中随意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，留意终边在坐标轴上的特别状况．[典例2－2](1)(2024·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则()A．cos2α＞0 B．cos2α＜0C．sin2α＞0 D．sin2α＜0(2)若sinα·tanα＜0，且eq\f(cosα,tanα)＜0，则角α是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(1)D(2)C[(1)∵α是第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，∴sin2α＝2sinαcosα＜0，故选D.(2)由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为其次象限角或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)＜0可知cosα，tanα异号，