2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3.3余弦定理正弦定理应用举例-距离问题同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价十三余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(15分钟30分)1.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是 ()A.50nmile B.70nmileC.90nmile D.110nmile【解析】选B.到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理得两船之间的距离为l=QUOTE=70(nmile).【补偿训练】已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A、C两地的距离为()A.10km B.QUOTEkmC.10QUOTEkm D.10QUOTEkm【解析】选D.在△ABC中,AB=10km,BC=20km,∠ABC=120°,则由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=100+400-2×10×20cos120°=100+400-2×10×20×QUOTE=700,所以AC=10QUOTE即A、C两地的距离为10QUOTE2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30m B.QUOTEmC.15QUOTEm D.45m【解析】选B.在△ABC中,cos∠ABC=QUOTE=QUOTE,∠ABC∈(0,π),所以sin∠ABC=QUOTE=QUOTE,所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5QUOTE×QUOTE=QUOTE(m).3.已知A船在灯塔C北偏东80°,且A到C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°,A,B两船的距离为3km,则B到C的距离为.

【解析】如图所示,在△ABC中,∠ACB=40°+80°=120°,AB=3km,AC=2km.设BC=akm.由余弦定理的推论,得cos∠ACB=QUOTE,即cos120°=QUOTE,解得a=QUOTE-1或a=-QUOTE-1(舍去),即B到C的距离为a=(QUOTE-1)千米.答案:(QUOTE-1)千米4.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长千米.

【解析】如图,∠BAO=75°,C=30°,AB=1千米,所以∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.在△ABC中,QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE=QUOTE(千米).答案:QUOTE5.如图,甲船以每小时30QUOTE海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处,此时两船相距10QUOTE海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由已知A2B2=10QUOTEA1A2=30QUOTE×QUOTE=10QUOTE(海里),所以A1A2=A2B2又∠A1A2B2=60°,所以△A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2由已知,A1B1=20海里,∠B1A1B2=180°-75°-60°=45在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2·cos45°=202+(10QUOTE)2-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,所以B1B2=10QUOTE因此,乙船的速度为QUOTE×60=30QUOTE(海里/时).所以乙船每小时航行30QUOTE(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.某人从A处动身,沿北偏东60°行走3QUOTEkm到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则A,C两地的距离为()A.4km B.6km C.7km D.9km【解析】选C.如图所示,由题意可知AB=3QUOTEkm,BC=2km,∠ABC=150°,由余弦定理得AC2=27+4-2×3QUOTE×2×cos150°=49,所以AC=7km,所以A,C两地的距离为7km.2.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.QUOTE海里/小时 B.34QUOTE海里/小时C.QUOTE海里/小时 D.34QUOTE海里/小时【解析】选A.如图所示,在△PMN中,QUOTE=QUOTE.所以MN=QUOTE=34QUOTE(海里),所以v=QUOTE=QUOTE(海里/小时).3.已知甲船位于小岛A的南偏西30°的B处,乙船位于小岛A处,AB=20千米,甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶,同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向行驶,当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为()A.QUOTE小时 B.QUOTE小时C.QUOTE小时 D.QUOTE小时【解析】选C.设当甲、乙两船相距最近时,他们行驶的时间为t小时,此时甲船位于C处,乙船位于D处,则AC=(20-6t)千米,AD=8t千米,由余弦定理可得,CD2=(20-6t)2+(8t)2-2(20-6t)8tcos120°=52t2-80t+400,故当CD取最小值时,t=QUOTE.4.如图,某炮兵阵地位于A点,两视察所分别位于C,D两点.已知△ACD为正三角形,且DC=QUOTEkm,当目标出现在B点时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离是(精确到0.1) ()A.1.1km B.2.2km C.2.9km 【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°.在△BCD中,由正弦定理,得BD=QUOTE=QUOTE.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°=3+QUOTE+2×QUOTE×QUOTE×QUOTE=5+2QUOTE.所以AB=QUOTE≈2.9(km).所以炮兵阵地与目标的距离约是2.9km.【误区警示】解题时,要分清不同的三角形,在不同的三角形中,依据条件分别选用正弦定理和余弦定理.5.某人先向正东方向走了xkm,然后他向右转150°,向新的方向走了3km,结果他离动身点恰好为QUOTEkm,那么x的值为()A.QUOTE或2QUOTE B.2QUOTEC.3QUOTE D.3【解析】选A.如图,在△ABC中由余弦定理得3=9+x2-6xcos30°,即x2-3QUOTEx+6=0,解之得x=2QUOTE或QUOTE.6.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3km,甲船以8km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛动身,以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15min时,两船的距离是()A.QUOTEkm B.QUOTEkmC.QUOTEkm D.QUOTEkm【解析】选B.由题意知AM=8×QUOTE=2(km),BN=12×QUOTE=3(km),MB=AB-AM=3-2=1(km),所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×QUOTE=13,所以MN=QUOTEkm.二、填空题(每小题5分,共10分)7.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,2024年第1号台风“帕布”(热带风暴级)登陆时再现了这一现象,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后(如图所示,没有完全断开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是米(结果保留根号).

【解题指南】依据题意,画出示意图,大树原来的高度分为两部分,利用正弦定理或余弦定理分别求出两部分的长度,求和即为大树原来的高度.【解析】如图所示,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°.由正弦定理知,QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以OA=QUOTE米,AB=QUOTE米,所以OA+AB=(5QUOTE+5QUOTE)米.答案:(5QUOTE+5QUOTE)8.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A,B.灯塔B位于灯塔A的正南方向.海上停岸着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75°,与A相距3QUOTE海里的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5海里的C处,此时乙船与灯塔A之间的距离为海里,两艘轮船之间的距离为海里.

【解析】连接AC,由题意可知AB=BC=5海里,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∠CAD=45°,可得:AC=5海里,依据余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2×AC×AD×cos∠CAD=25+18-2×5×3QUOTE×QUOTE=13,故乙船与灯塔A之间的距离为5海里,两艘轮船之间的距离为QUOTE海里.答案:5QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1260m,经测量,cosA=QUOTE,cosC=QUOTE.求索道AB的长.【解析】在△ABC中,因为cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE.从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由QUOTE=QUOTE得AB=QUOTE·sinC=QUOTE×QUOTE=1040(m).所以索道AB的长为1040m.10.如图,一人在C地看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西45°方向,此人向北偏西75°方向前进QUOTEkm到达D处,看到A在他的北偏东45°方向,B在北偏东75°方向,试求这两座建筑物之间的距离.【解析】依题意得,CD=QUOTEkm,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,∠ADC=60°,∠DAC=45°.在△BDC中,由正弦定理得BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE(km).在△ADC中,由正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=3QUOTE(km).在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(3QUOTE)2+(QUOTE)2-2×3QUOTE×QUOTEcos45°=25.所以AB=5km,故这两座建筑物之间的距离为5km.1.某观测站C在A城的南偏西20°的方向,由A城动身有一条马路,马路走向是南偏东40°,在马路上测得距离C31km的B处有一人正沿马路向A城走去,走了20km后到达D处,此时C,D之间相距21km,问此人还要走km才能到达A城.

【解析】如图,∠CAB=60°,BD=20km,CB=31km,CD=21km.在△BCD中,由余弦定理的推论,得cos∠BDC=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,则sin∠BDC=QUOTE.在△ACD中,∠ACD=∠BDC-∠CAD=∠BDC-60°.由正弦定理,得AD=QUOTE.因为sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=QUOTE,所以AD=QUOTE=15(km).答案:15【补偿训练】如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测