2024-2025学年高中数学 第一章 预备知识 4 一元二次函数与一元二次不等式 1.4.3 一元二次不等式的应用教案 北师大版必修第一册

2024-2025学年高中数学第一章预备知识4一元二次函数与一元二次不等式1.4.3一元二次不等式的应用教案北师大版必修第一册主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学——一元二次函数与一元二次不等式

2.教学年级和班级：高中一年级一班

3.授课时间：2024年9月20日

4.教学时数：45分钟

二、教学内容

1.课程目标：通过本节课的学习，使学生掌握一元二次不等式的解法及应用，能够解决实际问题。

2.课程重难点：一元二次不等式的解法，以及如何将实际问题转化为数学模型。

三、教学过程

1.导入：以实际问题引入，如“某商品打8折后的价格不超过120元，求商品的原价范围。”

2.新课讲解：讲解一元二次不等式的解法，通过例题演示解题步骤。

3.课堂练习：学生独立完成练习题，老师进行个别辅导。

4.应用拓展：让学生尝试解决实际问题，如“某数的平方与该数之和不超过100，求该数的取值范围。”

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调一元二次不等式的解法及应用。

四、课后作业

1.请学生完成课后练习题，巩固所学知识。

2.鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提高数学素养。

五、教学评价

1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2.课后作业：检查学生的作业完成情况，评估学生的掌握程度。

3.期中期末考试：通过考试检验学生对一元二次函数与一元二次不等式的掌握情况。教学目标分析根据新教程的要求，本节课的核心素养目标如下：

1.逻辑推理：通过讲解一元二次不等式的解法，培养学生的逻辑推理能力，使其能够运用数学原理和方法解决实际问题。

2.数学建模：让学生学会将实际问题转化为数学模型，运用一元二次不等式解决问题，培养学生的数学建模能力。

3.数学运算：通过练习题和实际问题的解决，提高学生的数学运算能力，使其能够熟练运用一元二次不等式的解法。

4.直观想象：通过图形和实际问题的展示，培养学生的直观想象能力，使其能够形象地理解一元二次不等式的解法及应用。

5.数学抽象：通过讲解和练习，使学生掌握一元二次不等式的抽象概念，能够抽象出一元二次不等式的问题并解决。

6.数学素养：通过课堂讲解、练习和实际问题的解决，提高学生的数学素养，使其能够在生活中发现数学问题并运用数学知识解决。学习者分析1.学生已经掌握的相关知识：学生在之前的学习中已经掌握了初中阶段的一元二次方程和一元二次函数的基础知识，对二次项的概念有一定的了解。同时，学生也学习了不等式的基本性质和解法，这为本节课的一元二次不等式学习奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生的兴趣主要集中在解决实际问题和探究数学规律方面。在学习能力方面，大部分学生具备较强的逻辑推理和数学运算能力，能够理解和掌握一元二次不等式的解法。在学习风格上，学生喜欢通过实践和合作来学习，对于图形和实际问题的展示较为感兴趣。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习一元二次不等式时，学生可能对不等式的解法原理和步骤理解不深，难以将实际问题转化为数学模型。此外，部分学生可能在数学抽象和直观想象方面存在一定的困难，对于一元二次不等式的图形解法和不等式性质的应用不够熟练。因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，提供适当的辅导和帮助，确保他们能够跟上课程进度，掌握一元二次不等式的解法和应用。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.教学方法：

本节课将采用讲授、案例研究和项目导向学习等教学方法。讲授法用于向学生传授一元二次不等式的解法理论和解题步骤，通过清晰的讲解使学生掌握知识点。案例研究法用于分析实际问题，让学生将所学知识应用于解决具体问题，培养学生的数学建模能力。项目导向学习法用于引导学生合作探究，通过小组讨论和互动，提高学生的解决问题和团队合作能力。

2.教学活动设计：

（1）角色扮演：让学生扮演商品销售员和消费者，以实际问题为背景，引导学生运用一元二次不等式解决问题。

（2）实验：通过绘制一元二次函数的图形，让学生观察函数图像与不等式的关系，从而理解一元二次不等式的解法。

（3）游戏：设计一个数学游戏，让学生在游戏中运用一元二次不等式，提高学生的学习兴趣和积极性。

（4）小组讨论：将学生分成小组，讨论一元二次不等式在实际问题中的应用，促进学生之间的交流与合作。

3.教学媒体和资源使用：

（1）PPT：制作精美的PPT，展示一元二次不等式的解法步骤和实际问题，以便学生更好地理解和掌握知识点。

（2）视频：播放一元二次函数图像的动画，让学生直观地观察函数图像与不等式的关系，帮助学生理解一元二次不等式的解法。

（3）在线工具：利用在线数学工具，让学生进行一元二次不等式的练习和实验，提高学生的动手操作能力。

（4）实际问题素材：收集一些与生活息息相关的一元二次不等式问题，让学生更好地理解数学在实际生活中的应用。

本节课通过多种教学方法和教学活动，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数学抽象等核心素养，使学生在解决实际问题的过程中，能够灵活运用一元二次不等式的解法，提高学生的数学素养。教学流程1.课前准备（5分钟）

（1）让学生预习本节课的内容，了解一元二次不等式的解法及其应用。

（2）教师准备PPT、视频、实际问题素材等教学资源。

2.课堂导入（5分钟）

（1）教师通过实际问题引入本节课的主题：“某商品打8折后的价格不超过120元，求商品的原价范围。”

（2）引导学生思考如何将这个问题转化为数学模型，激发学生的学习兴趣。

3.知识讲解（15分钟）

（1）教师讲解一元二次不等式的解法，包括解法原理、步骤和注意事项。

（2）举例说明一元二次不等式的解法如何应用于实际问题，让学生理解其应用价值。

（3）引导学生进行课堂练习，巩固所学知识。

4.案例分析（10分钟）

（1）教师提出案例：“某地的房价不超过每平方米1万元，求购买一套房子最高不超过150平方米的限制。”

（2）学生分组讨论，将实际问题转化为数学模型，并运用一元二次不等式解决问题。

（3）各组汇报讨论成果，教师进行点评和指导。

5.应用拓展（5分钟）

（1）教师提出应用问题：“某数的平方与该数之和不超过100，求该数的取值范围。”

（2）学生独立思考，运用一元二次不等式解决问题。

（3）教师选取部分学生的解答进行点评和讲解。

6.课堂小结（5分钟）

（1）教师对本节课的内容进行总结，强调一元二次不等式的解法及其应用。

（2）学生进行课堂反馈，提出疑问和困惑。

7.课后作业（5分钟）

（1）教师布置课后作业，让学生巩固所学知识。

（2）提醒学生参加数学竞赛或研究性学习，提高数学素养。

本节课的教学流程设计紧密围绕一元二次不等式的解法及其应用展开，通过实际问题导入、知识讲解、案例分析、应用拓展等环节，让学生在解决实际问题的过程中掌握一元二次不等式的解法，提高学生的数学建模、数学运算、直观想象和数学抽象等核心素养。整个教学流程共计45分钟，符合教学实际需求。知识点梳理1.一元二次不等式的定义：一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0）的不等式，其中a、b、c是常数，a≠0。

2.一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法包括口诀法、图像法、公式法等。

（1）口诀法：记忆口诀“大于看开口，小于看封口”，根据开口方向和判别式Δ的符号判断不等式的解集。

（2）图像法：绘制一元二次函数的图像，根据图像判断不等式的解集。

（3）公式法：利用一元二次方程的求根公式，求出不等式的解集。

3.一元二次不等式的应用：一元二次不等式在实际生活中有广泛的应用，如利润问题、面积问题、最值问题等。

（1）利润问题：例如，某商品打8折后的价格不超过120元，求商品的原价范围。

（2）面积问题：例如，已知一个矩形的长和宽，求矩形的面积不超过某个值时，长和宽的取值范围。

（3）最值问题：例如，某数的平方与该数之和不超过100，求该数的取值范围。

4.一元二次不等式的性质：一元二次不等式具有开口方向、判别式Δ的符号等性质，这些性质对于我们解决实际问题非常有帮助。

（1）开口方向：开口向上的不等式，解集在两根之外；开口向下的不等式，解集在两根之间。

（2）判别式Δ：Δ>0时，不等式有两个实数解；Δ=0时，不等式有一个重根；Δ<0时，不等式无实数解。

5.一元二次不等式的解集表示：一元二次不等式的解集可以用区间表示，包括开区间、闭区间、半开半闭区间等。

（1）开区间：如解集为(2,4)，表示x的取值范围在2和4之间，不包括2和4。

（2）闭区间：如解集为[2,4]，表示x的取值范围在2和4之间，包括2和4。

（3）半开半闭区间：如解集为(2,4]或[2,4)，表示x的取值范围在2和4之间，包括2或4。课后作业1.问题转化：某商品的原价不超过150元，打8折后的价格不超过120元，求该商品的原价范围。

答案：原价范围为100元到150元。

2.应用题型：一块土地的面积不超过200平方米，且该土地的宽度不超过土地长度的的一半，求土地的面积和长度的取值范围。

答案：土地的面积取值范围为100平方米到200平方米，长度的取值范围为20米到40米。

3.最值问题：已知某数的平方与该数之和不超过100，求该数的取值范围。

答案：该数的取值范围为-10到10。

4.综合题型：某工厂生产一批产品，每件产品的成本为20元，售价为30元。若工厂想获得利润不超过1000元，求工厂最多生产多少件产品。

答案：工厂最多生产33.33件产品（取整数为33件）。

5.创新题型：已知一元二次不等式x^2-4x+3>0，求该不等式的解集。

答案：解集为x<1或x>3。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

（1）本节课我们学习了一元二次不等式的定义、解法、性质以及应用，通过实际问题引导学生理解一元二次不等式在生活中的重要性。

（2）我们掌握了口诀法、图像法和公式法解一元二次不等式，并能将实际问题转化为数学模型，运用一元二次不等式解决问题。

（3）一元二次不等式的解集表示方法以及开口方向和判别式Δ的符号对于解决实际问题具有指导意义。

2.当堂检测

（1）问题转化：某商品的原价不超过150元，打8折后的价格不超过120元，求该商品的原价范围。

（2）应用题型：一块土地的面积不超过200平方米，且该土地的宽度不超过土地长度的的一半，求土地的面积和长度的取值范围。

（3）最值问题：已知某数的平方与该数之和不超过100，求该数的取值范围。

（4）综合题型：某工厂生产一批产品，每件产品的成本为20元，售价为30元。若工厂想获得利润不超过1000元，求工厂最多生产多少件产品。

（5）创新题型：已知一元二次不等式x^2-4x+3>0，求该不等式的解集。教学反思与改进在本次教学中，我发现学生在理解一元二次不等式的解法时，对于开口方向和判别式Δ的符号的理解不够深入，导致解题时出现错误。同时，学生在将实际问题转化为数学模型时，对于如何建立数学关系式也存在一定的困难。此外，课堂讨论环节，部分学生的参与度不高，需要进一步激发学生的学习兴趣和积极性。

2.改进措施

（1）加强开口方向和判别式Δ的符号的教学，通过具体例子和练习，帮助学生加深理解和掌握。

（2）在课堂讨论环节，设计更多与学生生活相关的问题，激发学生的学习兴趣和积极性，提高学生的参与度。

（3）增加一些实际问题，让学生在解决问题的过程中，更好地理解一元二次不等式的应用。

（4）在教学中，注重学生的思维引导，鼓励学生主动思考和探索，提高学生的数学思维能力。

3.未来计划

在未来的教学中，我将根据学生的实际情况，调整教学策略和方法，注重培养学生的核心素养，提高学生的数学建模、数学运算、直观想象和数学抽象等能力。同时，我将注重学生的个性化发展，关