2024-2025版高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用学案新人教A版必修5

PAGE第2课时基本不等式的应用键实力·合作学习类型一“1”代换求最值(逻辑推理、数学运算、数学建模)1.已知mn>0,2m+n=1,则QUOTE+QUOTE的最小值是()A.4 B.6 C.8 D.16【解析】选C.因为mn>0,2m+n=1,则QUOTE+QUOTE=QUOTE(2m+n)=4+QUOTE+QUOTE≥4+2QUOTE=8,当且仅当QUOTE=QUOTE且2m+n=1即m=QUOTE,n=QUOTE时取等号,此时取得最小值8.2.已知x+2y=xy(x>0,y>0),则2x+y的最小值为()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】选B.由x+2y=xy(x>0,y>0),可得QUOTE+QUOTE=1,则2x+y=(2x+y)QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥5+4=9,当且仅当QUOTE=QUOTE且QUOTE+QUOTE=1,即x=3,y=3时取等号,此时取得最小值9.3.已知实数a>0,b>0,QUOTE是8a与2b的等比中项,则QUOTE+QUOTE的最小值是______.

【解析】因为实数a>0,b>0,QUOTE是8a与2b的等比中项,所以8a·2b所以23a+b=2,解得3a则QUOTE+QUOTE=(3a+b)QUOTE=5+QUOTE+QUOTE≥5+2QUOTE=5+2QUOTE,当且仅当b=QUOTEa=QUOTE-2时取等号.答案:5+2QUOTE常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为:(1)依据已知条件或其变形确定定值(常数).(2)把确定的定值(常数)变形为“1”.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.(4)利用基本不等式求解最值.【补偿训练】1.若a>0,b>0,2a+b=6,则QUOTE+QUOTE的最小值为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为a>0,b>0,2a+b=6,则QUOTE+QUOTE=QUOTE(2a+b)=QUOTE≥QUOTE×(4+4)=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE且2a+b=6,即a=QUOTE,b=3时取得最小值QUOTE.2.已知x>0,y>0,2x-QUOTE=QUOTE-y,则2x+y的最小值为()A.QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.4【解析】选C.由x>0,y>0,2x-QUOTE=QUOTE-y,可得2x+y=QUOTE+QUOTE,即有(2x+y)2=QUOTE(2x+y)=10+QUOTE+QUOTE≥10+2QUOTE=18,即有2x+y≥3QUOTE,当且仅当y=2QUOTE,x=QUOTE时等号成立,故2x+y的最小值为3QUOTE.3.设正实数x,y满意x+2y=1,则QUOTE+QUOTE的最小值为()A.4 B.6 C.7 D.8【解析】选B.由正实数x,y满意x+2y=1,得QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=6,当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE时取等号,故QUOTE+QUOTE的最小值为6.类型二基本不等式的实际应用(数学运算、逻辑推理、数学建模)【典例】某机械附件厂去年的年产量为10万件,每件产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元科技成本.并安排以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预料产量每年递增1万件,每件产品的固定成本g(n)元与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=QUOTE.若产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?四步内容理解题意条件:(1)去年的年产量为10万件,每件产品的销售价格为100元,固定成本为80元.(2)今年起,工厂投入100万元科技成本.(3)安排以后每年比上一年多投入100万元科技成本.(4)预料产量每年递增1万件,每件产品的固定成本g(n)元与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=QUOTE.结论:(1)求出f(n)的表达式;(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?思路探求(1)分别列出销量、每件产品的利润、科技成本投入后可得出f(n);(2)利用基本不等式求最值.书写表达(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为QUOTE元,科技成本投入为100n万元.所以年利润为f(n)=(10+n)QUOTE-100n(n∈N*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)QUOTE-100n,f(n)=1000-80QUOTE≤1000-80×6=520(万元).当且仅当QUOTE=QUOTE,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.题后反思一般要理清销售量、售价、成本或其他投入;或者是销售量、每件产品的利润、其他投入.应用基本不等式解决实际问题的思路和方法(1)设:先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建:建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)求:在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)写:正确写出答案.某厂家拟在2024年实行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m≥0)满意x=3-QUOTE(k为常数),假如不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品须要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2024年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大,并求出最大利润.【解析】(1)由题意可知当m=0时,x=1,所以1=3-k,所以k=2,所以x=3-QUOTE,每件产品的销售价格为1.5×QUOTE,所以2024年的利润y=xQUOTE-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8QUOTE-m=-QUOTE+29(m≥0).(2)当m≥0时,QUOTE+(m+1)≥2QUOTE=8,所以y≤-8+29=21,当且仅当QUOTE=m+1,即m=3时,ymax=21.即该厂家2024年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大利润为21万元.【拓展延长】基本不等式失效时求最值在求最值的一些问题中,由于其中的等号取不到,此时不能应用基本不等式求最值,这时通常可以借助函数y=x+QUOTE(k>0)的单调性求得函数的最值.对于函数y=x+QUOTE(k>0),可以证明x∈(0,QUOTE]及[-QUOTE,0)上均为减函数,在[QUOTE,+∞)及(-∞,-QUOTE]上都是增函数.求此函数的最值时,若所给的范围含±QUOTE,可用基本不等式,不包含±QUOTE就用函数的单调性.【拓展训练】新余到吉安相距120千米,汽车从新余匀速行驶到吉安速度不超过120km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b,固定部分为a元.(1)把全程运输成本y(元)表示成速度v(km/h)的函数;并求出当a=50,b=QUOTE时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些改变,那么当a=QUOTE,b=QUOTE,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小.【解析】(1)由题意可知,汽车从新余匀速到吉安所用时间为QUOTE,全程成本为y=(bv2+a)·QUOTE=120(bv+QUOTE),v∈(0,120];当a=50,b=QUOTE时,y=120QUOTE≥240·QUOTE=120(当且仅当v=100时取等号).所以汽车应以100km/h的速度行驶,能使得全程运输成本最小.(2)当a=QUOTE,b=QUOTE时,y=120QUOTE.由对勾函数的单调性可知,当v=120时,y有最小值.所以汽车应以120km/h的速度行驶,才能使得全程运输成本最小.类型三基本不等式的综合应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)角度1转化为不等式求范围

【典例】若a,b∈(0,+∞),ab=a+b+8,试求ab的范围.【思路导引】利用a+b≥2QUOTE,构造关于ab的不等式.【解析】因为a,b∈(0,+∞),所以ab=a+b+8≥2QUOTE+8,即ab-2QUOTE-8≥0,解得QUOTE≥4,所以ab≥16.当且仅当a=b=4时取等号.本例的条件不变,试求a+b的范围.【解析】因为a,b∈(0,+∞),所以a+b+8=ab≤QUOTE,即(a+b)2-4(a+b)-32≥0,解得a+b≥8,当且仅当a=b=4时等号成立.角度2代入、构造求最值

【典例】1.已知实数a>0,b>0,a+b=2,则QUOTE+QUOTE的最小值为()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.QUOTE【思路导引】利用a+b=2,把式子QUOTE+QUOTE中的b用a表示,再对式子变形.【解析】选D.a>0,b>0,a+b=2,则QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE-2,=QUOTE-2,=QUOTE-2≥QUOTE×(5+4)-2=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=QUOTE时取等号,此时取得最小值QUOTE.2.已知正数a,b满意QUOTE+QUOTE=1,则QUOTE+QUOTE的最小值是()A.6 B.12 C.24 D.36【思路导引】依据题意可以将QUOTE+QUOTE=1转化成a+b=ab,再将QUOTE+QUOTE通分转化即可得到9b+4a-13,最终利用1的代换求出9b+4a的最小值即可.【解析】选B.因为a,b为正数,且QUOTE+QUOTE=1,所以a+b=ab,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=9b+4a-13,因为9b+4a=(9b+4a)×1=(9b+4a)×QUOTE=QUOTE+QUOTE+13≥2QUOTE+13=25,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=QUOTE时取等号,所以QUOTE+QUOTE=9b+4a-13≥12.3.已知正实数a,b,c满意a2-2ab+9b2-c=0,则QUOTE的最大值为________.

【解析】由a2-2ab+9b2-c=0,可得c=a2-2ab+9b2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE时,即当a=3b时,等号成立,答案:QUOTE1.转化为解不等式求范围涉及与ab、a+b等相关的式子,可以利用基本不等式转化为一元二次不等式,通过解不等式求范围,体现了整体转化思想的应用.2.构造定值求最值综合已知条件、要求的因式的特点,适当变形,构造出与要求因式相关的定值,再利用“1”的代换,整体构造等方法求最值.1.已知正数x、y满意x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()A.1 B.3 C.6 D.12【解析】选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=QUOTE,所以2x+y=2x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=3.当且仅当QUOTE=QUOTE即x=1时取等号.2.已知a>2,b>2,则QUOTE+QUOTE的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.16【解析】选D.令x=b-2,y=a-2,则原式=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE=16.当且仅当x=y=2,即a=b=4时取等号.3.设x>0,y>0,x+2y=4,则QUOTE的最小值为______.

【解析】因为x+2y=4,x>0,y>0,所以x+2y=4≥2QUOTE(当且仅当x=2,y=1时取等号),所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=1+QUOTE≥1+8=9(当且仅当x=2,y=1时取等号).答案:9课堂检测·素养达标1.函数y=log2QUOTE(x>1)的最小值为()A.-3 B.3 C.4 D.-4【解析】选B.因为x+QUOTE+5=(x-1)+QUOTE+6≥2QUOTE+6=8.所以log2QUOTE≥3,所以ymin=3.当且仅当x-1=QUOTE,即x=2时,等号成立.2.(教材二次开发:例题改编)如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所须要篱笆的()A.最小长度为8 B.最小长度为4QUOTEC.最大长度为8 D.最大长度为4QUOTE【解析】选B.设BC=a,CD=b,则ab=4,所以围成矩形ABCD所须要的篱笆长度为2a+b=2a+QUOTE≥2QUOTE=4QUOTE,当且仅当2a=QUOTE,即a=QUOTE时取等号,此时长度取得最小值4QUOTE.3.周长为QUOTE+1的直角三角形面积的最大值为________