2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE对数运算法则(15分钟30分)1.(2024·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由alog34=2可得log34a=2,所以4a=9,所以有4-a=QUOTE.【补偿训练】(2024·合肥高一检测)lg2·log210的值为 ()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.lg2·log210=lg2·QUOTE=1.2.lgQUOTE= ()A.-4 B.4 C.10 D.-10【解析】选A.lgQUOTE=lg10-4=-4.3.若lgx=m,lgy=n,则lgQUOTE-lgQUOTE的值为 ()A.QUOTEm-2n-2 B.QUOTEm-2n-1C.QUOTEm-2n+1 D.QUOTEm-2n+2【解析】选D.因为lgx=m,lgy=n,所以lgQUOTE-lgQUOTE=QUOTElgx-2lgy+2=QUOTEm-2n+2.4.实数a,b满意2a=5b=10,则下列关系正确的是 ()A.QUOTE+QUOTE=2 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=2 D.QUOTE+QUOTE=QUOTE【解析】选B.因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以QUOTE=lg2,QUOTE=lg5,所以QUOTE+QUOTE=lg2+lg5=lg(2×5)=1.5.计算log525+lnQUOTE-(0.64QUOTE=________.

【解析】原式=2+QUOTE-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.(1)计算:(lg2)2+(lg2+3)lg5+lg4.(2)已知log53=a,log54=b,用a,b表示log25144.【解析】(1)原式=(lg2)2+lg2lg5+3lg5+lg4=lg2(lg2+lg5)+lg5+2(lg2+lg5)=lg2+lg5+2=3.(2)因为log53=a,log54=b,所以log25144=log512=log53+log54=a+b.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2024·北京高一检测)若lga-2lg2=1,则a= ()A.4 B.10 C.20 D.40【解析】选D.lga-2lg2=1化为lga-lg22=1,即lgQUOTE=1,所以,QUOTE=10,a=40.2.已知3x=5y=a,且QUOTE+QUOTE=2,则a的值为 ()A.QUOTE B.15 C.±QUOTE D.225【解析】选A.因为3x=5y=a所以xlg3=ylg5=lga,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,则2=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以lga2=lg15,因为a>0所以a=QUOTE.3.已知实数a,b满意ab=ba,且logab=2,则ab= ()A.QUOTE B.2 C.4 D.8【解析】选D.因为实数a,b满意logab=2,故a2=b,又由ab=ba得QUOTE=a2a,解得:a=2,或a=0(舍去),故b=4,ab=8.4.已知2×9x-28=QUOTE,则x= ()A.log37-log32 B.loQUOTE4C.2log32 D.log37【解析】选C.已知2×9x-28=QUOTE,所以2×(3x)2-28-3x=0,即(3x-4)(2·3x+7)=0,解得3x=4,则x=log34=2log32.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知x,y为正实数,则 ()A.2lnx+lny=2lnx+2lny B.2ln(x+y)=2lnx·2lnyC.2lnx·lny=(2lnx)lny D.2ln(xy)=2lnx·2lny【解析】选CD.依据指数与对数的运算性质可得2lnx·lny=(2lnx)lny,2ln(xy)=2lnx+lny=2lnx·2lny,可知:C,D正确,而A,B都不正确.6.若ab>0,有下列四个等式:①lg(ab)=lga+lgb;②lgQUOTE=lga-lgb;③QUOTElgQUOTE=lgQUOTE;④lg(ab)=QUOTE,其中不正确的是 ()A.① B.② C.③ D.④【解析】选ABD.①②式成立的前提是a>0,b>0;④式成立的前提是ab≠1.只有③式成立.三、填空题(每小题5分,共10分)7.lgQUOTE+3lg2-QUOTE+e0=________.

【解析】lgQUOTE+3lg2-QUOTE+e0=lgQUOTE-2+1=1.答案:1【补偿训练】QUOTE+log2(47×25)-πlnQUOTE=________.

【解析】QUOTE+log2(47×25)-πlnQUOTE=4-π+log2219+π=4+19=23.答案:238.已知logab+3logba=QUOTE,则logab=________,当a>b>1时,QUOTE的值为_______.

【解析】因为logab+3logba=QUOTE,所以logab+QUOTE=QUOTE,所以2(logab)2-13logab+6=0,解得logab=6或QUOTE,因为a>b>1,所以0<logab<1,所以logab=QUOTE,所以QUOTE=b,所以QUOTE=QUOTE=1.答案:6或QUOTE1四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知2x=3y=5z,且QUOTE+QUOTE+QUOTE=1,求x,y,z.【解析】令2x=3y=5z=k(k>0),所以x=log2k,y=log3k,z=log5k,所以QUOTE=logk2,QUOTE=logk3,QUOTE=logk5,由QUOTE+QUOTE+QUOTE=1,得logk2+logk3+logk5=logk30=1,所以k=30,所以x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.10.(1)计算:log3QUOTE+lg5+QUOTE+log23·log94+lg2;(2)若a,b分别是方程(lgx)2-lgx2+QUOTE=0的两个实根,求lgQUOTE·QUOTE的值.【解析】(1)原式=log3QUOTE+lg5+2+QUOTE·QUOTE+lg2=QUOTE-1+QUOTE+3=-QUOTE+1+3=QUOTE.(2)依据题意,lga,lgb是方程t2-2t+QUOTE=0的两个实根,则lga+lgb=2,lga·lgb=QUOTE,原式=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=2×QUOTE=12.1.方程log2(x+2)=1+log4(6-x)的解为x=________.

【解析】由log2(x+2)=1+log4(6-x),得:log2(x+2)=log2(2QUOTE),所以x+2=2QUOTE,解得x=2或-10(舍去).答案:22.若a,b,c∈N*,且满意a2+b2=c2.(1)求log2QUOTE+log2QUOTE的值.(2)若log4QUOTE=1,log8(a+b-c)=QUOTE,求a,b,c的值.【解析】(1)因为a2+b2=c2,所以log2QUOTE+log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=log2QUOTE=1.(2)因为log4QUOTE=1,所以QUOTE=4.即3a-b-c=0.①因为log8(a+b-c)=QUOTE,所以a+b-c=4.②因为a2+b2=c2,③且a,b,c∈N*,所以由①②③解得a=6,b=8,c=10.【补偿训练】已知二次函数f(x)=QUOTEx2+2x+4lga的最小值为3,求QUOTE+loga2·loga50的值.【解析】因为f(x)=QUOTEx2+2x+4lga存在最小值为3,所以lga>0,fQUOTE=fQUOTE=lga×QUOTE+