2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价四向量的数乘运算(15分钟30分)1.下列说法中正确的是 ()A.λa(λ∈R)与a的方向不是相同就是相反B.若a,b共线,则b=λa(λ∈R)C.若|b|=2|a|,则b=±2D.若b=±2a,则|b|=2|a【解析】选D.明显b=±2a时,必有|b|=2|a2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则肯定共线的三点是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】选A.++=a+2b+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+6b=3(a+2b)==3,所以A,B,D三点共线.3.(2024·铜仁高一检测)在△ABC中,点D为AB边上一点,且=QUOTE,则= ()A.QUOTE+QUOTE B.-QUOTE-QUOTEC.-QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】选A.因为=QUOTE,所以-=QUOTE,所以=QUOTE+QUOTE.【补偿训练】设D为△ABC所在平面内一点,=3,则 ()A.=-QUOTE+QUOTEB.=QUOTE-QUOTEC.=QUOTE+QUOTED.=QUOTE-QUOTE【解析】选A.由题意知=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=-QUOTE+QUOTE.4.如图,M,N是△ABC的一边BC上的两个三等分点,若=a,=b,则=_.

【解析】由题意知,=QUOTE,而=-=b-a,所以=QUOTE(b-a)=QUOTEb-QUOTEa.答案:QUOTEb-QUOTEa5.已知向量a,b不共线,若向量a+λb与b+λa的方向相反,则λ等于.

【解析】因为向量a+λb与b+λa的方向相反,所以(a+λb)∥(b+λa),即存在一个负实数m,使得a+λb=m(b+λa),即(1-mλ)a=(m-λ)b.因为a与b不共线,所以1-mλ=m-λ=0,可得m=λ<0,所以1-λ2=0,所以λ=-1.答案:-16.化简:(1)QUOTE×3a;【解析】(1)原式=QUOTEa=-a;(2)原式=2a-2b-b+QUOTEa=QUOTEa-3b;(3)原式=QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc-QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc=-QUOTEa-QUOTEb+QUOTEc.(4)原式=QUOTEa+QUOTEb=QUOTEa+QUOTEb.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若=3e1,=-5e1,且||=||,则四边形ABCD是 ()A.平行四边形 B.菱形C.等腰梯形 D.不等腰的梯形【解析】选C.因为=-QUOTE,所以AB∥CD,且||≠||.而||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形.2.点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P肯定在 ()A.△ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上【解析】选B.因为=λ+,所以-=λ.所以=λ.所以P,A,C三点共线.所以点P肯定在AC边所在的直线上.3.已知a,b是两个不共线的向量,=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),若A,B,C三点共线,则()A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0 D.λ1λ2-1=0【解析】选D.若A,B,C三点共线,则,共线,所以存在实数λ,使得=λ,即a+λ2b=λ(λ1a+b),即(λλ1-1)a=(λ2-λ)b,由于a,b不共线,所以1=λλ1且λ2=λ,消去λ得λ1λ2=1.4.(2024·潍坊高一检测)△ABC内,点O满意+2+3=0,直线AO交BC于点D,则下列正确的是 ()A.3+2=0 B.2+3=0C.-5=0 D.5+=0【解析】选B.因为+2+3=0,所以2(+)=-(+).设E,F分别为AC,BC的中点,则2·2=-2⇒=-2,所以O是线段EF的三等分点,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,因为OF∥AB,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以=-QUOTE⇒2+3=0,由QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,所以=-QUOTE⇒+5=0.综上分析可知,只有选项B正确.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列命题中,正确的是 ()A.0·a=0B.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向肯定相反C.若b=λa(a≠0),则QUOTE=λD.若|b|=|λa|(a≠0),则QUOTE=|λ|【解析】选BD.A错误,0·a=0;B正确,λμ<0知λ,μ符号相反;依据向量数乘的概念及其几何意义可知,C错误,D正确.6.已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是 ()A.2a-3b=4e,且a+2b=-3B.存在相异实数λ,μ,使λa+μb=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满意x+y=0)D.已知梯形ABCD中,=a,=b【解析】选AB.由A得10a-b=0,所以a,b共线;B明显满意条件;对于C,当x=y=0时,a,b不肯定共线;对于D,不肯定成立,也可能是BC∥AD,所以a,b不肯定共线三、填空题(每小题5分,共10分)7.设向量a=3i+2j,b=2i-j,则+(2b-a)=.

【解析】原式=QUOTEa-b-a+QUOTEb+2b-a=QUOTEa+QUOTEb=-QUOTEa+QUOTEb=-QUOTE(3i+2j)+QUOTE(2i-j)=QUOTEi+QUOTEj=-QUOTEi-5j.答案:-QUOTEi-5j8.如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,AN=3NC,M为BC的中点,则=(用a,b表示).

【解析】因为=3,M为BC的中点,则=+=QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE(+)=QUOTE-QUOTE=QUOTE(b-a).答案:QUOTE(b-a)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满意=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f(1)用e,f表示.(2)证明四边形ABCD为梯形.【解析】(1)由题意,有=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f(2)由(1)知=-8e-2f=2(-4e-f)=2,即=2.依据数乘向量的定义,与同方向,且的长度为的长度的2倍,所以在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD为梯形.10.如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近点B,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.(1)试用a,b表示,,;(2)证明:B,E,F三点共线.【解题指南】(1)依据平面对量的三角形法则,用,表示出向量,和即可;(2)用a,b表示出向量,,证明与共线,从而证明B,E,F三点共线.【解析】(1)在△ABC中,=a,=b,所以=-=b-a,=+=+QUOTE=a+=QUOTEa+QUOTEb,=+=-+QUOTE=-a+QUOTEb;(2)=-a+QUOTEb,=+=-+QUOTE所以=QUOTE,所以与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.1.已知O是平面内肯定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满意=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹肯定通过△ABC的 ()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】选B.为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0,+∞),所以λ的方向与+的方向相同.而=+λ,所以点P在上移动.所以点P的轨迹肯定通过△ABC的内心.2.设a,b,c为非零向量,其中随意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是