工程数学 课件 第4章 多元函数微分

第4章

多元函数微分第1节

多元函数第2节

偏导数第3节

全微分第4节

多元复合函数和隐函数的求导法则

第1节多元函数

一、多元函数的定义在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下。例4.1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有如下关系：这里有三个变量,V随着两个独立变量r、h的变化而变化.

例4.2具有一定量的理想气体的压强p、体积V与绝对温度T之间具有如下关系：

这里也有三个变量，p随着两个独立变量T、V的变化而变化。

定义4.1对于变量x、y、z,如果变量x、y在一定范围内任意取一组数值，这时变量z按照一定法则总有唯一确定的数值和它们相对应，那么就称z是x、y的二元函数，记为z=f(x,y)。

z=f(x,y)中，x、y称为自变量，z称为因变量。x、y的变化范围称为二元函数z=f(x,y)的定义域，记为D；z的变化范围称为二元函数z=f(x,y)的值域，记为R(f)。

对于二元函数z=f(x,y)(x,y∈D)，其映射为f：D→R，如图4.1所示。

图4.1

类似地。可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及n元函数u=f(x1,x2,x3,…,xn)。二元及二元以上的函数统称为多元函数。

定义4.2平面的区域是指一条或者几条曲线所围成的具有连通性的平面的一部分。其中，连通性是指一块部分平面内任意两点可以用完全属于这个部分平面的折线连接贯通。如果区域能够无限延伸，则称此区域是无界的；如果区域不能够无限延伸，它就总是被包含在一个范围更大一点的半径有限的圆内，则称此区域是有限的.围成区域的曲线称为区域的边界。闭区域是包含边界在内的区域，开区域是不包含边界在内的区域，二者统称为区域。为方便起见，我们将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点。

例4.4求下列函数的定义域D，并画出D的图形。

(1)z=ln(x+y)；

(2)z=arcsin(x2+y2)。

解(1)要使函数z=ln(x+y)有意义，应有x+y>0，所以函数的定义域D是位于直线x+y=0上方而不包括这条直线在内的半平面，这是一个无界区域，如图4.2(a)所示。

(2)要使函数z=arcsin(x2+y2)有意义，应有x2+y2≤1，所以函数的定义域D是以原点为圆心，以1为半径的闭圆区域，如图4.2(b)所示。

图4.2

二、二元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，我们用“ε-δ”语言描述二元函数的极限概念。

正如一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：

第2节偏导数

一、偏导数的定义定义4.6设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果极限

存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作

定义4.7如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，

记作

其定义式为

类似地，可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数，记为

其定义式为

注偏导函数也简称偏导数。二元函数z=f(x,y)对于自变量x的偏导数也可记为zx或fx(x,y)；二元函数z=f(x,y)对于自变量y的偏导数也可记为zy或fy(x,y)。求二元函数的偏导数就是先将一个自变量固定为常量，再求函数对于另外一个自变量的一元函数的导数。因此，一元函数的求导公式以及求导法则对于多元函数求偏导数依然适用。

由偏导数的概念可知，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数f'x(x0,y0)就是f'x(x,y)在点(x0,y0)的函数值，而f'y(x0,y0)就是偏导数f'y(x,y)在点(x0,y0)的函数值。

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。例如，三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为

其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点。它们的求法也是一元函数的微分法问题。

二、偏导数的计算方法

在实际求z=f(x,y)的偏导数时，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题。求时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。

例4.12已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证：

证明因为

所以

三、高阶偏导数

定义4.8设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数

于是在D内f'x(x,y)、f'y(x,y)都是x,y的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数。

按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理4.1如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数

在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

第3节全微分

在实际中，有时需计算当两个自变量都改变时二元函数z=f(x,y)的改变量f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)。一般来说，计算这个改变量比较麻烦，因此我们希望找出计算它的近似公式。该公式应满足：①好算；②有一定的精确度。类似一元函数的微分概念,引入记号和定义:称Δz为z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量。

一、全微分的定义

定义4.9如果二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量z=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可表示为

其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x、y有关，

则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分，而称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz，即

证明设函数z=f(x,y)在点P(x,y)处可微分。于是，对于点P的某个邻域内的任意一点P'(x+Δx,y+Δy)，有Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)。特别当Δy=0时有

上式两边各除以Δx,再令Δx→0而取极限,就得

例4.15求函数z=x2y2在点(2,-1)处当Δx=0.02、Δy=-0.01时的全增量与全微分。

解全增量为

函数z=x2y2的两个偏导数分别为

因为它们都是连续的，所以全微分是存在的，其值为

二、全微分在近似计算中的应用

设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则函数的全增量与全微分之差是高阶无穷小，有近似公式Δz≈d，即

例4.19计算(1.02)1.99的近似值

第4节多元复合函数和隐函数的求导法则

一、复合函数的求导法则设函数z=f(u,v)，其中u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)都是关于x,y的函数，于是z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是关于x,y的函数，则称函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y)]是z=f(u,v)与u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)的复合函数。

定理4.4如果函数u=φ(x,y),v=ψ(x,y)在点(x,y)处有偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(x,y)，ψ