初中数学常见的模型方法专题-专题17-相似三角形的常见辅助线

相似三角形的常见辅助线在添加辅助线时，所添加辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系．主要辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A”“X”型例11.如图，D是的边上的点，，E是的中点，求：的值．

【答案】5:1【解析】【分析】过点D作的平行线交于点P，根据平行线分线段成成比例定理，可得，，进而可推得BE=5EF，从而可得BE:EF的值．【详解】过点D作的平行线交于点P，如图∴，∵BD:DC=2:1，E是AD的中点，∴，∴∴【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是作辅助线，构造平行．例22.在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：【答案】见解析【解析】【分析】过D作交于G，证明和相似，和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．【详解】证明：过D作交于G，则和相似，∴，∵，∴，由可得和相似，∴即，∴【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．变式1－13.如图，在的边和边上各取一点D和E，且使延长线与延长线相交于F，求证：【答案】见解析【解析】【分析】过点作，交延长线于点，通过相似三角形的性质即可证明．【详解】证明：过点作，交延长线于点，∴∴又∵∴又∵∴∴∴∴【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的构造方法是解题的关键．变式1－24.如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：．【答案】见解析【解析】【分析】过点E作交BC于点M，可得到，，进而有，，根据，可得到，即证．【详解】如图，过点E作交BC于点M，∵，∴，，∴，∴,即，∵∴，∴，∴【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质．二、作垂线构造相似直角三角形例35.如图从顶点C向和的延长线引垂线和，垂足分别为E、F，求证：【答案】见解析【解析】【分析】过B作于M，过D作于N，通过构造相似三角形，利用其的性质，即可证明．【详解】证明：过B作于M，过D作于N∵∴∴，即（1）同理可得：，∴，∴（2），（1）＋（2）得在和中∴又∴，∴【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握辅助线的做法、相似三角形的性质是解题的关键．根据模型二构造一线三等角例46.在中，，D是底边上一点，E是线段上一点，且，则与的数量关系为____________．【答案】【解析】【分析】作，交AD于点K；根据题意，得CAK；通过证明AKC，得AK，CK；再根据等腰三角形性质，得，从而得；再根据平行线、相似三角形性质分析，即可得到答案．【详解】如图，作，交AD于点K，∵∴90°，90°，,即∴CAK∵，∴AKC∴AK，CK∵，∴EK∴，∵，∴，∴∵，∴，∴∴∴∴2故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形的性质，从而完成求解．变式2－17.中，∠ACB=90°，，P是上一点，Q是上一点（不是中点），过Q且，交于M、N，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】过P作于E，于F，证明，得到。进而得到①，再证明，得到，故②，根据①②即可求解．【详解】证明：过P作于E，于F，∵∠ACB=90°，∴为矩形∴，PF=EC∴．∴∴∵，∴①，∵在和中，于Q，∴又∵，∴，∴，∴∴②由①②得∴．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．变式2－28.如图，，射线和互相垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连结并延长交射线于点．设，，则关于的函数解析式是__________．【答案】【解析】【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．【详解】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，熟练掌握辅助线的做法是解题的关键．三、作延长线构造相似三角形例59.如图，在梯形中，，若的平分线于点H，，且四边形的面积为21，求的面积．【答案】27【解析】【分析】延长交于点P，构造相似三角形，转化为相似三角形的面积比进行求解．【详解】解：延长交于点P，∵，平分∴，又∵∴∴，且，∵，∴∴∵，∴，∴设，则∵，∴∴∴，∵，∴【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握相似三角形的构造方法及有关性质是解题的关键．例610.在四边形中，，，则______．

【答案】14【解析】【分析】延长CD至点E，使DE=BC，利用SAS证明△ADE≌△DBC，再作CF⊥AE，垂足为F，在Rt△CEF中，利用含30度角的直角三角形的性质求得EF、CF的长，再在Rt△ACF中，利用勾股定理即可求解．【详解】解：延长CD至点E，使DE=BC，∠ADE=180°−∠ADB−∠BDC=60°−∠BDC，∠DBC=180°−∠BCD−∠BDC=60°−∠BDC，∴∠ADE=∠DBC，又∵AD=DB，DE=BC，∴△ADE≌△DBC(SAS)，∴∠AEC=∠DCB=120°，AE=CD=6，DE=BC=4，作CF⊥AE，垂足为F，在Rt△CEF中，∠FEC=60°，则∠ECF=30°，∴EF=CE=5，CF==5，在Rt△ACF中，由勾股定理得AC=，故答案为：．．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．变式3－111.在中，，D是斜边的中点，E是边上一动点，连接，当时，求的长．【答案】3【解析】【分析】作截取，延长至点N，使，连接，，由等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，证明得到，再根据相似三角形的性质和勾股定理，以及解一元二次方程即可求出答案．【详解】解：作截取，延长至点N，使，连接，，如图所示：∵，∴和是等腰直角三角形，∴45°，∵点D是AB的中点，由中位线定理，则，；∵，又∵，∴，∴，∴，设，则，，∵，，∴，解得：或（舍去），∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，得到．变式3－212.如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，交于G，求证：FG2＝FC•FB．【答案】见解析【解析】【分析】延长AC，GF相交于点H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性质得到，即CF•BF＝FG•HF，然后只要证明FG＝HF即可．【详解】证明：延长AC，GF相交于点H，∵FG⊥AB（已知）∴∠FGB＝90°（垂直的定义）∵∠ACB＝90°（已知）∴∠FGB＝∠ACB（等量代换）∵∠1＝∠2（对顶角相等）∴△HCF∽△BGF（两角对应相等的两个三角形相似）∴（相似三角形对应边成比例）即CF•BF＝FG•HF（比例的基本性质）∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知）∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义）∴CDHG（同位角相等，两直线平行）∴∠3＝∠H（两直线平行，同位角相等）∵∠3＝∠H，∠6＝∠6∴△ACE∽△AHF（两角对应相等的两个三角形相似）∴（相似三角形对应边成比例）∵∠4＝∠5，∠7＝∠7∴△AED∽△AFG（两角对应相等的两个三角形相似）∴（相似三角形对应边成比例）∴（等量代换）∵E是CD的中点（已知）∴CE＝DE（中点的定义）∴FH＝FG∵CF•BF＝FG•HF（已证）∴CF•BF＝FG•FG即FG2＝FC•FB．．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法与性质，通过作辅助线证明三角形相似，由相似三角形的对应边成比例，列出比例式，进而得出结论．习题练13.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标为（-2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A.（，），（，） B.（，），（，）C.（，），（，） D.（，），（，）【答案】C【解析】【分析】如过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、根据△AOF∽△CAE，△AOF≌△BCN，△ACE≌△BOM解决问题．【详解】解：如图过点A、B作x轴的垂线垂足分别为F、M．过点C作y轴的垂线交FA、∵点A坐标（-2，1），点C纵坐标为4，∴AF=1，FO=2，AE=3，∵∠EAC+∠OAF=90°，∠OAF+∠AOF=90°，∴∠EAC=∠AOF，∵∠E=∠AFO=90°，∴△AEC∽△OFA，，∴点C坐标，∵△AOF≌△BCN，△AEC≌△BMO，∴CN=2，BN=1，BM=MN-BN=3，BM=AE=3，，∴点B坐标，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质，添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键，属于中考常考题型．14.已知：如图，中，，是中线，是上一点，过作，延长交于，交于.求证：.【答案】详见解析【解析】【分析】由轴对称的性质可知．，.然后证明，即可证明结论成立.【详解】证明：联结，∵，是中线，∴是的对称轴.∴，.∵，∴.∴.又，∴.∴.即.∴.【点睛】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可.证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一.视频15.如图，中，是边上中线，E是上一点，连接且交的延长线于F点．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】过点作交于点，利用两直线平行的性质得出条件证明，再根据平行线的性质证明解答．【详解】解：证明：过点作交于点，，是的中线，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，三角形相似、解题的关键是添加适当辅助线，掌握平行线的性质．16.如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．问题引入：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=（用图中已有线段表示）．探索研究：（2）如图②，在△ABC中，O点是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．拓展应用：（3）如图③，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，试猜想的值，并说明理由．【答案】（1）1：2，BD：BC；（2）S△BOC：S△ABC=OD：AD，理由见解析；（3）=1，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分式的加减，可得答案．【详解】解：（1）如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ABC=1：2；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD：S△ABC=BD：BC，故答案为：1：2，BD：BC；（2）S△BOC︰S△ABC＝OD︰AD．理由如下：如图，分别过点O、A作OM⊥BC于M，AN⊥BC于N．∴OM∥AN．∴△OMD∽△AND，∴．∵，∴．（3）．理由如下：由（2）得，同理可得，．∴＝1．【点睛】本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质．17.已知点D是的中点，过D点的直线交于E，交的延长线于F，求证：【答案】见解析【解析】【分析】延长到点，使得，根据，从而得证．【详解】解：延长到点，使得，如下图：在和中，∴∴，∴∴∴∴【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握辅助线的做法、相似三角形的证